miércoles, 18 de marzo de 2009

Los tensores de Ricci y Einstein II

Como hemos visto, para poder desarrollar la Teoría General de la Relatividad Einstein se apoyó no sólo en los descubrimientos y las enseñanzas del “padre” de la teoría de la electrodinámica clásica, James Clerk Maxwell, en todo lo que tiene que ver con la unificación de las leyes básicas del electromagnetismo emulándolo con la unificación correspondiente del espacio y del tiempo independientes en un solo concepto único e indivisible, también se apoyó en la interpretación geométrica del espacio-tiempo dada por Hermann Minkowski, y se apoyó en las ideas de Bernhard Riemann que le dió al mundo las herramientas para poder analizar matemáticamente espacios geométricos de más de tres dimensiones el cual a su vez extendió los conceptos del matemático Karl Friedrich Gauss para el análisis de espacios curvos, resumido esto en una materia conocida como la geometría diferencial, la cual a diferencia de la geometría clásica de Euclides basa sus conclusiones y derivaciones en la aplicación de las herramientas del cálculo infinitesimal (el cual no existía en los tiempos de Euclides) a planos y espacios curvos tomando como base no sus propiedades globales (como la definición Cartesiana de la parábola que nos la define como el lugar de los puntos tales que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz) sino sus propiedades locales (tales como la curvatura Gaussiana de una superficie, cuya definición no depende de un sistema de coordenadas utilizado para definir a dicha superficie con una fórmula, un descubrimiento que impactó inclusive al mismo Gauss. De cualquier manera, es precisamente en la geometría diferencial en donde se origina el uso de los tensores como una herramienta útil en la transformación de coordenadas. Una de las innovaciones más importantes de Bernhard Riemann fue la de considerar a la fuerza como una variación de la métrica a través del tiempo, tesis que fue desarrollada en el año 1854 en su escrito de habilitación como maestro bajo el título “Las hipótesis que sirven de base a la geometría”. De este modo, en el caso de que los coeficientes de la métrica aumenten proporcionalmente con el paso del tiempo (estamos hablando aquí de una expansión del espacio intermedio entre dos cuerpos) nos encontramos ante lo que a nuestros sentidos parece ser una fuerza repulsiva entre los dos cuerpos, y por el contrario si los coeficientes disminuyen con el paso del tiempo (estamos hablando aquí de una reducción del espacio intermedio entre los dos cuerpos) nos encontramos ante lo que a nuestros sentidos parece ser una fuerza repulsiva entre los dos cuerpos,una fuerza que provoca que la distancia entre dos cuerpos aumente con el paso del tiempo.

PROBLEMA: Para una métrica con el siguiente elemento de línea en un espacio 3-dimensional:

ds² = (dx1)² + (2x1)(dx2)² + (2x2)(dx3

obténganse los componentes del tensor de Ricci así como el escalar de Ricci.

Para el elemento de línea proporcionado obtenemos los siguientes componentes del tensor métrico g:

g11 = 1___g22 = 2x1___g33 = 2x2

gij = 0__para i ≠ j

Puesto que la matriz que representa a los componentes del tensor métrico g es una matriz diagonal, esto nos permite obtener de inmediato los componentes contravariantes que corresponden al tensor métrico conjugado g-1:

g11 = 1___g22 = 1/2x1___g33 = 1/2x2

Usando los métodos abreviados que ya vimos previamente en otras entradas para la obtención de los símbolos de Christoffel de segundo género, obtenemos para la métrica dada lo siguiente:

Γ122 = - (∂g22/∂x1)/(2g11) = - (2)/(2g11) = - 1/g11 = - 1



Γ233 = - (∂g33/∂x2)/(2g22) = - (2)/(2g22) = - 2/4x1 = - 1/2x1



Puesto que el espacio es un espacio de tres dimensiones, con n = 3 sólo hay seis componentes para el tensor de Riemann en este espacio métrico que son potencialmente diferentes de cero y que requieren ser evaluados: R1212, R1313, R2323, R1213 , R2123 y R3132, . Con esto en mente, procedemos a obtener primero los componentes del tensor de Riemann del segundo género:

R1212 = ∂Γ122/∂x1 - ∂Γ121/∂x2 + Γr22Γ1r1 - Γr21Γ1r2

Aquí el tercer término se expande a una sumatoria cuyos componentes son cero. Sólo el cuarto término se expande a un término que no es cero:

R1212 = 0 - 0 + 0 - Γ221Γ122

R1212 = - (1/2x1) (-1)

R1212 = 1/2x1

Del mismo modo:

R1313 = 0

R2323 = 1/4x1x2

R1213 = 0

R3132 = 1/4x1x2

Esto nos resulta en los siguientes componentes del tensor de Riemann de primer género:

R1212 = g11R1212 = (1) (1/2x1) = 1/2x1

R2323 = g22R2323 = (2x1) (1/4x1x2) = 1/2x2

R3132 = g33R3132 = (2x2) (1/4x1x2) = 1/2x1

teniéndose un total de seis componentes en virtud de las relaciones de hemisimetría (antisimetría) aplicables a los componentes del tensor de Riemann del primer género:

R1221 = - R1212

R2332 = - R2323

R3123 = - R3132

Tenemos lo que necesitamos para proceder a evaluar los componentes del tensor de Ricci que no es más que la contracción del tensor de Riemann Ra bca:



Puesto que la métrica es una métrica diagonal, o sea gij = 0 para i ≠ j, podemos poner el lado derecho de la ecuación tensorial en función de los componentes del tensor de Riemann del primer género de la siguiente manera:

Rij = g11 R1ij1 + g22 R2ij2 + g33 R1331

De este modo, obtenemos los componentes requeridos del tensor de Ricci:

R11 = g22 R2112 = - 1/[4(x1)²]

R22 = g11 R1221 + g33 R3223 = - 1/2x1 - 1/[4(x1)²]

R33 = g22 R2332 = - 1/[4(x1x2)]

R12 = g33 R3123 = - 1/[4(x1x2)]

R21 = g33 R3213 = - 1/[4(x1x2)]

R13 = 0

R31 = 0

Para la obtención del escalar de Ricci únicamente necesitamos evaluar los componentes R11, R22 y R33 del tensor de Ricci mixto, para lo cual usamos nuevamente el tensor métrico con el fin de llevar a cabo la elevación del índice que nos interese elevar:

R11 = g11 R11 = (1){- 1/[4(x1)²]}

R11 = - 1/[4(x1)²]

R22 = g22 R22 = (1/2x1){- 1/2x1 - 1/[4(x1)²]}

R22 = - (1/2x1)² -1/[8x1(x2)²]

R33 = g33 R33 = (1/2x2){- 1/[- 1/4x1x2]}

R33 = -1/[8x1(x2)²]

Entonces el escalar de Ricci será:

R = R11 + R22 + R33

R = - [x1 + 2(x2)²]/[2x1x2

El escalar de Ricci para la métrica de este problema no es un solo número único para todo el 3-espacio, su valor depende de los valores que tomen x1 y x2, y sorprendentemente estalla volviéndose indefinido (infinito) para x1 = 0 ó x2 = 0, algo que posiblemente no habríamos sospechado al ver la métrica del problema por vez primera.

Como muchas otras construcciones matemáticas en espacios N-dimensionales, la métrica de este problema no necesariamente representa algo que pueda tener un significado físico en el mundo real, pero nos ilustra una posibilidad que debemos tener presente en todo momento al estar evaluando los tensores de Ricci y de Einstein, debemos estar preparados mentalmente para sorpresas inesperadas. Del mismo modo en que los dos postulados básicos de la Teoría Especial de la Relatividad conducen directamente a los fenómenos de la dilatación del tiempo, la contracción de longitud y la pérdida de la simultaneidad absoluta, el manejo matemático formal de la Relatividad General nos puede conducir y de hecho nos conduce a sorpresas tales como los agujeros negros en los cuales las cuatro dimensiones del espacio-tiempo se pueden compactar en un solo punto, una singularidad matemática, en el que se pierde toda noción de la realidad del mundo en que vivimos.

PROBLEMA: Del mismo modo en el que llevamos a cabo una contracción sobre el tensor de Ricci obteniendo el escalara de Ricci, si llevamos a cabo una contracción tensorial sobre el tensor de Einstein obtenemos un escalar conocido como el invariante de Einstein:

G = G i i

¿Cuál es la invariante de Einstein para la métrica del espacio-tiempo Lorentziano?

Por definición, para un tensor de Einstein en su representación como :

G = R - ½gR

Para el espacio-tiempo Lorentziano, la evaluación de las componentes del tensor de Riemann muestra que son todas iguales todas a cero por tratarse de un espacio-tiempo plano, sin curvatura, con lo cual consecuentemente todas las componentes del tensor de Ricci serán también iguales a cero y el escalar de Ricci R será también igual a cero. Con R = 0 y R = 0, la invariante de Einstein será;

G = G11 + G22 + G33 + G44

G = 0 + 0+ 0 + 0

G = 0

El invariante de Einstein es también conocido como la traza del tensor de Einstein, en analogía directa con la definición de la traza de una matriz que se obtiene sumando los elementos de la diagonal principal de la matriz y la cual se representa como Tr[M]. Una propiedad interesante de la traza de un tensor mixto M de segundo orden cuya representación matricial en función de sus coordenadas generalizadas x está escrita como Tr[M(x)] es que satisface la siguiente relación:



y que para un cambio muy pequeño δM (en uno o varios de sus componentes) la traza puede ser calculada de la siguiente manera:



PROBLEMA: Demostrar que para un espacio-tiempo de cualquier tipo, ya sea plano o curvo, se cumple la siguiente relación para la traza del tensor de Einstein:



Para la solución de este problema podemos tomar la definición del tensor de Einstein G escribiéndolo en notación de componentes covariantes, y llevar a cabo una doble contracción con la ayuda del tensor métrico g, usando en este problema una relación que ya habíamos obtenido en una entrada previa:

gαβ gαβ= n

De este modo, los pasos de resolución son los siguientes:



Para el caso especial del 4-espacio de la Teoría de la Relatividad, esto nos dice que la traza del tensor de Einstein es igual al negativo de la traza del tensor de Ricci:

G = [(2 - n)/2] R = [(2 - 4)/2] R = -R

Esta es la razón por la cual al tensor de Einstein también se le conoce como el “tensor de Ricci de traza revertida” (trace-reversed Ricci tensor).

En el vacío, en la ausencia total de cualquier presencia de masa-energía, todos los componentes del tensor energía-tensión T son iguales a cero, en cuyo caso las ecuaciones de campo de Einstein, en notación de componentes:



se reducen a:



Efectuando la contracción de ambos miembros de esta igualdad con la ayuda del tensor métrico conjugado g-1 = (gμν) y utilizando el hecho de que gμνgμν = 4, obtenemos:



con lo cual:

R = 0

Sustituyendo esto último en las ecuaciones de campo de Einstein llegamos a lo siguiente:



Estas son las ecuaciones de campo para el vacío, y son el enunciado matemático de que en donde no haya presencia alguna de masa-energía no habrá curvatura alguna en el espacio-tiempo, aplicándose entonces las transformaciones de Lorentz que corresponden a la Teoría Especial de la Relatividad para un espacio-tiempo plano. Matemáticamente, la Teoría Especial de la Relatividad para a convertirse en un caso especial de la Teoría General de la Relatividad para la situación en la cual no hay presencia de masa-energía o la presencia de la misma es tan poca que la curvatura producida en el espacio-tiempo es insignificante. Esta conclusión es considerada de una naturaleza tan fundamental que en 1979 se emitió en Suiza (país que siempre ha reclamado para sí la verdadera nacionalidad de Einstein y del cual el mismo Einstein siempre se consideró ciudadano hasta el final de sus días) la siguiente medalla conmemorativa en la que aparece grabada la ecuación tensorial que acabamos de obtener, usando el mismo estilo de escritura manuscrita de Einstein:



La otra ecuación puesta debajo de la ecuación Rμν = 0 es el enunciado matemático variacional que afirma que la ruta que toma un cuerpo en movimiento es aquella para la cual la variación de la integral de la trayectoria adquiere un valor extremo, lo cual a estas alturas podemos reconocer como la ruta geodésica. De este modo, la Luna recorre una ruta geodésica en torno a la Tierra, y los planetas y los cometas que nos visitan de fuera recorren rutas geodésicas en torno al Sol.

Las ecuaciones de campo de la Relatividad General pueden ser modificadas con la introducción de un término constante, una constante cosmológica Λ, con la cual dichas ecuaciones escritas en notación de componentes resultan ser:



Si repetimos el procedimiento anterior utilizado para obtener las ecuaciones de campo de Einstein para el vacío, en esta ocasión tomando en cuenta a la constante cosmológica, con todos los componentes del tensor energía-tensión T son igualados a cero, obtenemos lo siguiente:



lo cual nos lleva a:

R = 4 Λ

que nos conduce finalmente a:



Esto nos dice que si la constante cosmológica no es igual a cero entonces, inclusive en ausencia total de cualquier rastro de masa-energía, el espacio-tiempo tendrá una curvatura intrínseca, ya de por sí. Esta curvatura intrínseca podría ser suficiente para contrabalancear la curvatura ocasionada por toda la masa-energía que hay en el Universo de modo tal que tendríamos un Universo estático con una curvatura neta de cero a gran escala, un Universo incapaz de contraerse (por efectos de la gravedad) o de expanderse. Esta fue la razón por la cual Einstein introdujo la constante cosmológica en sus ecuaciones de campo, sólo para ser abandonada al descubrirse que nuestro Universo es un universo en expansión continuada.

Einstein introdujo su constante cosmológica suponiéndola como un parámetro independiente, algo característico del Universo, ya de por sí, pero el término de la misma en las ecuaciones de campo puede ser movida “hacia el otro lado” de la igualdad, escrita como una componente del tensor energía-tensión T para el vacío:



Puesto que este resultado vendría correspondiendo directamente con la densidad de energía ρ en el tensor energía-tensión T, esto tiene como consecuencia inevitable que hablemos ya de la energía del vacío dada por la siguiente relación de acuerdo a la Relatividad General:



De este modo, la existencia de una constante cosmológica Λ diferente de cero es equivalente a la existencia de una energía del vacío diferente de cero; no hay forma en la cual podamos escapar a esta conclusión. Es por esto que los términos constante cosmológica y energía del vacío se usan de manera intercambiable en la Relatividad General. Curiosamente, y por otras vías matemáticas, la Mecánica Cuántica también nos habla sobre la existencia de una energía del vacío. Es por esto que un importante segmento de la comunidad científica alberga sospechas de que la gran puerta de entrada hacia una teoría de la Relatividad Cuántica pueda ser esta coincidencia que parece ser algo más que una coincidencia fortuita, máxime que en base a las observaciones astronómicas más recientes se está descubriendo que la constante cosmológica del Universo es, en efecto, diferente de cero, aunque por razones diferentes a las cuales había postulado Einstein.

La interpretación física del tensor de Ricci nos lleva al verdadero significado geométrico de todos estos tensores de curvatura.

Dos partículas pequeñas en reposo (las cuales suponemos tan diminutas que son incapaces de producir una curvatura detectable en el espacio-tiempo) pero cercanas la una la otra se mueven independientemente a través del espacio-tiempo siguiendo rutas geodésicas. Si el espacio-tiempo es plano, permanecerán paralelas por siempre:





Pero si el espacio-tiempo es curvo, aunque las partículas estén en reposo se irán acercando al ir recorriendo cada una de ellas su ruta geodésica:





Este acercamiento gradual puede ocasionar la suposición errónea de que al moverse ambas partículas a través del espacio-tiempo se están “atrayendo” la una a la otra, como si existiese una “fuerza de atracción” entre ellas. Esto fué lo que supuso Newton y fué lo que lo condujo a obtener su ley de la gravitación universal. Pero tal fuerza de atracción no existe, lo único que existe son rutas geodésicas a través del espacio-tiempo. Esto es lo que hace precisamente que el volumen esférico de una “pelotita” de partículas en caída libre se vaya contrayendo. No hay ninguna fuerza de atracción gravitacional entre ambas, lo único que hay es la ruta geodésica que cada una de ellas está siguiendo. Debe resultar obvio que para poder determinar la curvatura del espacio-tiempo necesitamos por lo menos dos partículas, una sola no basta puesto que no hay forma de saber hacia dónde la esté acercando su ruta geodésica. La desviación que dos partículas inicialmente paralelas tienen al irse saliendo fuera de sus rutas paralelas está dada por la ecuación conocida como ecuación de desviación geodésica.

¿Cómo podemos determinar el aspecto correcto de la curvatura del espacio-tiempo de la cual hemos estado hablando? En esta tarea nos resulta de gran ayuda recurrir a la gravedad Newtoniana clásica, porque hay un cálculo muy sencillo que podemos hacer en ella relacionando a la densidad de la materia con el acercamiento gradual de los objetos que están en caída libre, lo cual nos indica el camino a seguir para encontrar una relación semejante en la Relatividad General. Supóngase por un momento que la Tierra bajo nuestros pies empezara a colapsarse bajo la acción de su propia gravedad, de modo tal que todas las fuerzas que mantienen a la roca debajo de nosotros en pie han desaparecido como si por arte de magia. En el instante en que tal cosa empezara a ocurrir, la superficie de la Tierra estaría aún estacionaria, de modo tal que si nos preguntáramos “¿qué tan rápido se está encogiendo la Tierra debajo de nosotros?” la respuesta sería “para nada, en este instante”. Sin embargo, no permanecería estacionaria por mucho tiempo, de modo tal que podríamos preguntarnos en cambio “¿que tan rápido se está acelerando el volumen de la Tierra hacia un valor menor?”, algo comparable a lo que ocurre cuando ponemos un carro en movimiento, el cual en el instante t = 0 tiene una aceleración cuyo valor no es cero pero cuya velocidad inicial de movimiento es cero. En la física Newtoniana, la aceleración a debida a la gravedad a una distancia r de una masa m está dada por a = GM/r² en donde G es la constante de gravitación universal. En cualquier momento el área de la superficie de la esfera es 4πr2, y multiplicando ésta área por la aceleración “hacia abajo” nos muestra que el volumen de la Tierra se está “acelerando” a una razón de –4πGM (se agrega un signo menos para indicar que el volumen está disminuyendo en lugar de estar aumentando):

- (4πr2) (GM/r²) = - 4πGM

Como una proporción del volumen total de la Tierra que llamaremos V, esto es simplemente:

- (4πGM)/V = - 4πG(M/V) = - 4πGρ

en donde ρ es la densidad de masa promedio de la Tierra. Lo que hemos estado llamando una aceleración del volumen es la razón del cambio con respecto al tiempo (primera derivada, para la velocidad) del cambio con respecto al tiempo (segunda derivada, para la aceleración) del volumen, de modo tal que usando la notación ∂tt = (∂/∂t)(∂/∂t) = ∂²/∂t² podemos escribir esta idea del siguiente modo:

(∂ttV)/V= - 4πGρ

Aunque este resultado se ha obtenido para una situación en particular, sigue siendo válido para una pequeña colección de partículas en caída libre a través de una región del espacio-tiempo en donde la densidad sea ρ que posean juntas un volumen que cambie de acuerdo con esta última ecuación. En el vacío en donde ρ = 0, la aceleración del volumen será también cero. Imaginemos una pequeña nube de chatarra espacial, inicialmente sin movimiento alguno, a una gran altura sobre la atmósfera terrestre. Si la chatarra cae en caída libre hacia abajo, la forma de la nube cambiará; se achatará en las dos direcciones horizontales (correspondientes a las dos coordenadas de un plano horizontal) al ir cayendo hacia el centro de la Tierra, mientras que irá creciendo verticalmente conforme las partículas más cercanas a la Tierra experimentan una aceleración gravitacional mayor (desde el punto de vista Newtoniano) que las partículas que estaban más arriba. Sin embargo, estos dos efectos se cancelan, y el volumen de la nube no experimentará aceleración alguna (esto no significa de modo alguno que la nube mantendrá un volumen constante indefinidamente; ya que aunque la primera, la segunda y la tercera razón de cambio sean cero la cuarta razón de cambio será negativa, y el volumen de la nube se irá encogiendo al ir transcurriendo el tiempo), como podemos verlo en la siguiente figura en la cual mientras que por un lado al ir cayendo el cubo hacia la masa M aumenta la longitud de la dimensión vertical ξz del cubo en un monto (positivo) δξz va disminuyendo en montos iguales δξx y δξy (montos negativos) en las longitudes de las dimensiones horizontales ξx y ξy:





Al cubrir el tema del tensor energía-tensión T vimos que el componente T00 mide directamente la densidad de la masa-energía, de modo tal que la última relación obtenida por la vía Newtoniana nos sugiere la búsqueda de un tensor que llamaremos C, un tensor tal que su componente C00 sea la segunda razón de cambio con respecto al tiempo de un volumen unitario que esté acotado por geodésicas, puesto que las geodésicas son las líneas del mundo (en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski) de las partículas en caída libre. Podríamos entonces tratar de relacionar al tensor geométrico C con el tensor energía-tensión T en una ecuación relativista análoga. No resulta difícil encontrar la segunda razón de cambio (con respecto al tiempo) de la separación entre geodésicas, esto es precisamente lo que se conoce como desviación geodésica. La siguiente figura nos muestra dos geodésicas cercanas, PS y QR, las cuales empiezan ambas apuntando en la dirección u, estando separadas inicialmente por un vector unitario n (estamos trabajando con una región del espacio-tiempo lo suficientemente pequeña como para que sea válida la comparación de vectores en puntos diferentes describiendo la separación entre dos puntos como un vector):





Obsérvese con detenimiento que en esta figura hay en realidad cuatro geodésicas:

P → Q

P → S

Q → R

R → S

Si llevamos a cabo una operación de transporte paralelo desde una geodésica hasta la otra (de P a Q), cambiamos el sentido de nuestro viaje moviéndonos una distancia unitaria a lo largo de la segunda geodésica (de Q a R), regresamos hacia la segunda geodésica (de R a S) y volvemos hasta el punto de partida (de S a P), regresaremos con un pequeño cambio δu, el cual sólo puede ser cero en un espacio-tiempo plano, no en un espacio-tiempo curvo. Este cambio puede ser estimado con la ayuda del tensor de curvatura de Riemann. Puesto que el plano del bucle a lo largo del cual movimos a u está definido por los vectores u y n, y puesto que el vector que estamos transportando es u, tenemos entonces:

δu = - R(u,n,u)

Pero u no varía en relación a las geodésicas que hay entre Q y R así como entre S y P en virtud de que ha sido transportado-paralelamente a través de las mismas -esta es precisamente la definición geométrica de una geodésica- de modo tal que podemos atribuír toda la discrepancia δu a la diferencia en la dirección de las geodésicas en S y R. Puesto que ambas geodésicas empiezan inicialmente paralelas (como el carro que es puesto en movimiento en un tiempo t = 0 con una aceleración constante pero empezando con una velocidad de cero), la primera razón de cambio de su separación n es cero. Pero como de cualquier manera se las arreglan para adquirir una inclinación relativa de δu, después de que las seguimos por una distancia unitaria en la dirección u, la segunda razón de cambio de su separación es –R(u,n,u), o sea (usando notación abreviada para la derivada covariante):

uun = - R(u,n,u)

Para calcular la segunda razón de cambio en el volumen entre las geodésicas de una nube completa de partículas (que para fines de simplicidad supondremos como un volumen inicial de 1) tenemos que tomar la segunda razón del cambio de la distancia entre ellas para cada una de las tres dimensiones perpendiculares a u y sumar los resultados (recuérdese que estamos trabajando en una 4-dimensión). Pero podemos hacer todo esto haciéndolo sobre las cuatro coordenadas a la vez, puesto que cualquier contribución que sea paralela a u siempre será cero. Podemos hacer esto en forma abreviada definiendo un nuevo tensor, precisamente el tensor de Ricci, representando simbólicamente el asunto de la siguiente manera

(∂uuV)/V = - Ricci (u,u)

Con esto se está dando a entender que el negativo del tensor de Ricci es proporcional a la segunda razón de cambio del volumen entre las geodésicas, lo cual queremos relacionar de alguna manera con el tensor energía-tensión. Una primera posibilidad sería la siguiente:

Ricci = 4πGT

Pero esta posibilidad nos presenta un problema. Si calculamos la divergencia del tensor de Ricci, encontramos que esta no es cero. Se repetirá esto con énfasis para que quede claro: la divergencia del tensor de Ricci no es cero. Esto significa que la ecuación que acabamos de postular es incompatible con la conservación de la energía-momentum expresada como:

div T = 0

Afortunadamente, podemos contruír otro tensor que sí es libre de divergencia. Este tensor es precisamente el tensor de Einstein.

La fórmula tensorial básica de la Teoría General de la Relatividad, G = 8πGT , en notación de índices y sustituyendo al tensor de Einstein G por lo que realmente representa, una expresión que involucra a esa entidad matemática Rμν conocida como el tensor de Ricci:

Rμν - (1/2) gμν R= Tμν

nos conduce a la siguiente pregunta: ¿Qué significa realmente la anterior ecuación, desde el punto de vista tanto físico como matemático? Para lograr una respuesta satisfactoria, hagamos primero unas cuantas manipulaciones con “gimnasia de índices” elevando al primer índice:

Rμν - (1/2) gμν R = Tμν

Hecho esto, llevemos a cabo una contracción con la igualación de índices μ = ν:

Rμμ - (1/2) gμμ R = Tμμ

Pero el primer término es simplemente la definición del escalar de Ricci R, mientras que por otro lado al llevarse a cabo la contracción del tensor métrico se tiene para una métrica Lorentziana que gμμ = -2 (suponiendo para la métrica una “firma” de signos + - - -). Tenemos entonces:

R - 2R = Tμμ

R = - Taa

Este es un resultado interesante. Nos dice que el escalar de Ricci es igual a la suma de los componentes de la diagonal principal del tensor energía-tensión T en su representación matricial, los cuales ya sabemos que son componentes que representan a la densidad de energía y a la presión. Tomemos ahora este resultado que acabamos de obtener para ponerlo de nuevo en la ecuación fundamental de Einstein:

Rμν + (1/2) gμν Taa = Tμν

o bien, despejando el tensor de Ricci poniendo todo lo demás en el lado derecho:

Rμν = Tμν - (1/2) gμν Taa

Esta expresión nos permite comprender el significado del tensor de Ricci en el lenguaje de la “convergencia” de las geodésicas (geodésicas que se van aproximando una a la otra al recorrer ambas cierta coordenada). Imaginemos a una pequeña “pelota” de partículas de prueba en caída libre en la cual v es el vector velocidad de una partícula puesta en medio de la pelotita. Imaginemos que la “pelotita” tiene inicialmente un volumen V. La primera derivada con respecto al tiempo del volumen de la pelotita es cero. Pero la segunda derivada con respecto al tiempo no lo es. En este caso, la segunda derivada con respecto al tiempo del volumen de la pelotita viene siendo

- Rμν vμ vν

multiplicado por el volumen V. Si conocemos esta cantidad para todas las velocidades v (que en este caso son las velocidades tipo temporal, que son las físicamente disponibles) podemos recontruír el tensor de Ricci Rμν. Nos resulta conveniente trabajar en el marco de referencia de la partícula que está puesta en medio de la pelotita, lo cual nos permite utilizar las coordenadas que corresponden a un espacio-tiempo Lorentziano en la cercanía del punto en el cual está situada dicha partícula. En tal caso, el tensor métrico gμν adquiere el aspecto que ya conocemos para un espacio-tiempo plano:



y por su parte va resulta ser simplemente (1, 0, 0, 0) por el hecho de que estamos considerando a la pelotita de partículas “flotando” dentro de un marco de referencia en reposo con lo cual el único viaje de la pelotita es a través de la coordenada temporal, la primera coordenada del 4-vector velocidad.

Entonces, tras unas cuantas computaciones tensoriales como las que llevamos a cabo arriba, obtenemos el componente R00 del tensor de Ricci:

Rμν vμ vν= R00

De este modo, en este sistema de coordenadas podemos afirmar que la segunda derivada del “volumen” de la pequeña pelotita de partículas es simplemente -R00.

Veamos ahora el lado derecho de la ecuación:

Rμν = Tμν - (1/2) gμν Taa

Habiendo obtenido una expresión para R00, ponemos ahora en esta ecuación μ = 0 y ν = 0, con lo cual obtenemos lo siguiente teniéndose en cuenta que para la métrica Lorentziana que estamos manejando g00 = 1:

R00 = T00 + (1/2) Taa

Preguntémonos ahora, ¿que es T00? Tratándose del tensor energía-tensión T, ya sabemos que es simplemente la densidad de energía en el centro de nuestra pelotita pequeña de partículas. ¿Y qué es Taa? Este término es simplemente el resultado de la doble contracción gca Tac, en donde llevamos a cabo la sumación sobre a y sobre c después de haberse llevado a cabo la doble contracción. Esto resulta ser:

-T00 + T11 + T22 + T33

De este modo, obtenemos lo siguiente:

R00 = (1/2) [T00 + T11 + T22 + T33]

Ya sabemos qué es T00. ¿Y qué podemos decir de T11, T22, and T33? Ya lo vimos al cubrir el tema de “El tensor energía-tensión”; estos términos representan el flujo de momentum en la dirección del eje-x, del eje-y y del eje-z, ya vimos que en un fluído típico en estado de reposo, todos estos términos son iguales a la presión en el sentido en el cual se está llevando a cabo el movimiento. De este modo, una interpretación geométrica “sencilla” de la ecuación fundamental de Einstein expresada con palabras vendría siendo la siguiente: Tómese una pelotita pequeña de partículas de prueba moviéndose juntas en caída libre, y trabájese sobre el marco de referencia local en reposo de la pelotita. Conforme el tiempo transcurre la pelotita cambia de volumen. Calcúlese la segunda derivada evaluada en el tiempo de inicio (cero) y divídase entre el volumen original. El negativo de lo que resulta es igual a de la densidad de energía en el centro de la pelotita, más el flujo de momentum-x en la dirección de las equis, más el flujo de momentum-y en la dirección de las yes, más el flujo de momentum-z en la dirección de las zetas. Expresado con mayor brevedad aún y en términos más llanos, diríamos lo siguiente: Tómese una pelotita pequeña de partículas de prueba moviéndose juntas en caída libre. Conforme pasa el tiempo, la razón a la cual la pelotita se va comprimiento en volumen es proporcional a la densidad de la energía más el flujo de momentum-x en la dirección de las equis, más el flujo de momentum-y en la dirección de las yes, más el flujo de momentum-z en la dirección de las zetas. El hecho de que el volumen de la pelotita vaya disminuyendo conforme el tiempo transcurre tiene una única interpretación posible: la gravedad es atractiva.

Así, la interpretación física que podemos darle al tensor de Ricci tiene la siguiente visualización que será dada a continuación, para lo cual nos referiremos al siguiente diagrama como un diagrama que trata de representar en un espacio de tres dimensiones algo que tiene lugar en un espacio de cuatro dimensiones (ausente en este diagrama está la coordenada X2, aunque afortunadamente por tratarse de una esfera simétrica obtendríamos el mismo diagrama si en vez de utilizar a X3 utilizáramos a X2):





El eje vertical corresponde a la coordenada utilizada para la medición del tiempo, y como podemos verlo conforme va transcurriendo el tiempo el volumen de la esfera va disminuyendo. De acuerdo con la Teoría General de la Relatividad, como consecuencia de la atracción recíproca entre las moléculas de un gas, una masa esférica de gas reduce su volumen con un aceleración equivalente a 4Gπρ en donde ρ es el parámetro que mide la densidad de la masa esférica de gas. Esto es precisamente lo que intenta reproducir en el diagrama de arriba los efectos del tensor de Ricci, concretamente su componente R00 sobre un volumen tridimensional esférico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen se reduce. Se recuerda que es importante tener en cuenta que la figura es una sobresimplificación proyectando lo que ocurre de un espacio en cuatro dimensiones a un espacio de tres dimensiones en donde se ha retenido la coordenada del tiempo.

En términos menos abstractos, imaginemos que estamos en una nave espacial surcando el espacio, y que dentro de la nave tenemos una bolsita de granos de arroz que acabamos de abrir cuidadosamente de modo tal que el movimiento de cada grano de arroz con respecto a los demás es nulo, cero, y que todos los granitos de arroz en conjunto pese a estar separados el uno del otro parecen formar una pelotita. Estando situados en un marco de referencia comóvil en donde todo lo que está adentro de la nave se mueve al parejo a la misma velocidad con respecto a un observador externo, esto sería similar a una situación en la cual la pelotita de granos de arroz está en caída libre. Conforme va transcurriendo el tiempo, la pelotita irá cambiando de tamaño y de forma dependiendo de la curvatura del espacio-tiempo que esté atravesando la nave, por ejemplo al pasar cerca de un planeta o de una estrella. La pelotita podrá ir dejando su forma esférica para ir tomando una forma elipsoidal. Todo depende del tipo de curvatura del 4-espacio en el que esté inmersa la nave. Cada granito de arroz irá siguiendo la ruta geodésica que le corresponda seguir. Si el volumen inicial de la pelotita de granos de arroz era Q, entonces el volumen irá aumentando o disminuyendo por un factor de “amplificación” igual a:

- Rab va vb

Esto es, en síntesis, lo que encierra el tensor de Ricci. Y significa que, con una pelotita de “polvo” de forma inicialmente esférica dentro de la nave, sin salir de la misma podemos obtener toda la información que requerimos para percatarnos del tipo de curvatura del espacio-tiempo que está atravesando la nave.

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