miércoles, 18 de marzo de 2009

La ruta geodésica III

Con la ecuación geodésica firmemente en nuestras manos, el siguiente paso consiste en la aplicación de la misma para la resolución de algunos problemas con el fin de utilizarla eventualmente en la Teoría de la Relatividad. Es importante señalar que no hay problema relacionado con geodésicas que no podamos resolver recurriendo directamente a la ecuación de Euler. La ventaja de la ecuación geodésica es que, además de ser fácilmente memorizable, nos produce en esencia lo mismo que nos brinda la ecuación de Euler.

PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, encontrar la geodésica entre dos puntos en un plano Cartesiano bi-dimensional.

Para un plano Cartesiano bi-dimensional en el cual tenemos dos coordenadas:

(x1, x2) = (x, y)

habrá dos ecuaciones diferenciales, una para cada coordenada:



Puesto que, tratándose de coordenadas rectangulares Cartesianas, los símbolos de Christoffel (resaltados en color rojo) son todos iguales a cero, las dos ecuaciones diferenciales anteriores se reducen simplemente a:



Integrando cada una de estas ecuaciones diferenciales una vez:

dx/ds = A____dy/ds = B

en donde A y B son constantes de integración. Combinando ahora ambas ecuaciones de la siguiente manera:



en donde hemos hecho a A/B una nueva constante m. Integrando de nuevo:

y = mx + b

Esta es la ecuación de una recta. Se concluye que en un plano bi-dimensional Cartesiano, la geodésica entre dos puntos es la recta que los une.

PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, encontrar la geodésica entre dos puntos en un plano Cartesiano tri-dimensional.

Para un plano Cartesiano bi-dimensional en el cual tenemos dos coordenadas:

(x1, x2, x3) = (x, y, z)

habrá tres ecuaciones diferenciales, una para cada coordenada:



Nuevamente, puesto que tratándose de coordenadas rectangulares Cartesianas, los símbolos de Christoffel (resaltados en color rojo) son todos iguales a cero, las tres ecuaciones diferenciales anteriores se reducen simplemente a:



Integrando cada una de estas ecuaciones diferenciales obtenemos lo siguiente:

x = As + x0____y = Bs + y0____z = Cs + z0

en donde A, B, C, x0, y0, y z0 son constantes de integración. Eliminando a la variable s de cada par de ecuaciones que podemos formar, tenemos lo siguiente:



Esta es la ecuación de una recta dentro de un espacio Cartesiano tri-dimensional. Se concluye que en un plano tri-dimensional Cartesiano, la geodésica entre dos puntos es la recta que los une.

PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, escribir las ecuaciones diferenciales para las geodésicas en coordenadas cilíndricas.

En coordenadas cilíndricas, especificamos un punto mediante las siguientes tres coordenadas:

(x1, x2, x3) = (r, θ, z)

Puesto que tenemos tres coordenadas, habrá tres ecuaciones diferenciales para las geodésicas en coordenadas cilíndricas:



Para las coordenadas cilíndricas, los únicos símbolos de Christoffel diferentes de cero son los siguientes:

Γ221 = Γθ θr = 1/r

Γ212 = Γθ = 1/r

Γ122 = Γr θθ = - r

Llevando a cabo la doble sumatoria requerida en el segundo término de la ecuación geodésica según lo requiere la convención de sumación, obtenemos para la geodésica de la coordenada radial r la siguiente ecuación diferencial:



Repitiendo el procedimiento, tenemos la siguiente ecuación diferencial para la geodésica de la coordenada angular θ:



Por último, tenemos la siguiente ecuación diferencial para la geodésica de la coordenada z que en realidad viene siendo trivial:



De esta última ecuación, casi podemos ver de inmediato que para la superficie del cilindro en el cual mantenemos la coordenada radial r constante todo el tiempo sin cambio alguno, la geodésica vendrá siendo una hélice.

Como puede verse, los símbolos de Christoffel son en realidad todo lo que necesitamos para escribir las ecuaciones geodésicas que correspondan a cierto sistema de coordenadas.

PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, escribir las ecuaciones diferenciales para las geodésicas en coordenadas esféricas.

En coordenadas esféricas, especificamos un punto mediante las siguientes tres coordenadas:

(x1, x2, x3) = (r, θ, φ)

Puesto que tenemos tres coordenadas, habrá tres ecuaciones diferenciales para las geodésicas en coordenadas esféricas:



Para la solución del problema necesitamos los símbolos de Christoffel para las coordenadas esféricas que son los siguientes:

Γ221 = Γθθr = Γ212 = Γθ = 1/r

Γ331 = Γφφr = Γ313 = Γφ = = 1/r

Γ332 = Γφφθ = Γ323 = Γφθφ = cot θ

Γ122 = Γrθθ = - r

Γ133 = Γrφφ = - r sen² θ

Γ233 = Γθφφ = - sen θ cos θ

Todos los demás símbolos de Christoffel son iguales a cero.

Desarrollaremos primero la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada radial r expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:



En la expansión mostrada se han destacado de color rojo los símbolos de Christoffel que son iguales a cero y que por lo tanto no harán contribución alguna a la doble sumatoria.

De este modo, obtenemos nuestra primera ecuación diferencial:



Desarrollaremos ahora la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada angular θ expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:



De este modo, obtenemos nuestra segunda ecuación diferencial:



Por último, desarrollaremos la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada angular φ expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:



De este modo, obtenemos nuestra tercera ecuación diferencial:



PROBLEMA: Mediante la ecuación geodésica, escribir las ecuaciones diferenciales para las geodésicas sobre la superficie de una esfera.

Este problema es esencialmente similar al problema anterior, excepto que ahora vamos a fijar el radio a un valor inalterable, manteniéndolo constante. Esto nos deja con tan sólo dos ecuaciones que corresponden a las otras dos coordenadas a las cuales sí les está permitido variar:



Desarrollaremos primero la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada angular θ expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:



En la expansión mostrada se han destacado de color rojo los símbolos de Christoffel que son iguales a cero y que por lo tanto no harán contribución alguna a la doble sumatoria.

Utilizando los valores para los símbolos de Christoffel correspondientes a las coordenadas esféricas dados en la solución del problema anterior, tenemos entonces la primera ecuación diferencial que corresponde a las geodésicas sobre la superficie de una esfera:



Desarrollaremos ahora la ecuación diferencial que corresponde a la geodésica relacionada con la coordenada angular φ expandiendo la doble sumatoria implícita por la convención de sumación en el segundo término de la ecuación geodésica:



Utilizando los valores para los símbolos de Christoffel correspondientes a las coordenadas esféricas dados en la solución del problema anterior, tenemos entonces la segunda ecuación diferencial que corresponde a las geodésicas sobre la superficie de una esfera:



Es tiempo de llevar nuestros recién adquiridos conocimientos al campo de la Teoría de la Relatividad.

Puesto que en la Teoría de la Relatividad el espacio es un espacio 4-dimensional:

(x1, x2, x3, x4)

la ecuación geodésica nos producirá un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales. Si en vez del parámetro longitud de arco s introducimos el parámetro tiempo propio τ usando la relación:

s = cτ

entonces tendremos el siguiente sistema de ecuaciones:



Estas son las cuatro ecuaciones que especifican la ruta geodésica que seguirán los cuerpos en movimiento al estar inmersos los cuerpos en un espacio-tiempo curvo. Lo único que nos hace falta para resolver el sistema de ecuaciones son los símbolos de Christoffel, los cuales dependen a su vez directamente del tensor métrico g del cual se obtienen. Es por esto que la métrica determina todo lo que hay que saber y que se pueda saber de un sistema de cuerpos en movimiento libre.

En virtud del primer término en cada una de las ecuaciones diferenciales para las geodésicas, todas ellas son ecuaciones diferenciales de segundo orden. El segundo término en cada una de ellas involucra un producto de diferenciales que convierte al sistema en un sistema de ecuaciones no-lineares, justo uno de los temas más difíciles a tratar, lo cual convierte a la Teoría General de la Relatividad en una pesadilla para los físicos y en una delicia para los matemáticos. Afortunadamente, en algunos casos especiales, sobre todo los más importantes, por razones de simetría las ecuaciones se pueden simplificar y se puede obtener una solución exacta o casi exacta. Pero hablando en términos generales, no existe una solución matemática general para todos los casos posibles, cada caso tiene que ser analizado y tratado sobre sus propios méritos. Una ayuda en esto es la plena libertad que tenemos para seleccionar el sistema de coordenadas que más convenga a nuestros propósitos en cierto problema. Podemos inventar incluso nuestro propio sistema de coordenadas. Sin embargo, lo que describa tal sistema de coordenadas tendrá que ser algo compatible con las ecuaciones de campo de la Relatividad General.

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