miércoles, 18 de marzo de 2009

La geometría Euclideana y la Relatividad

Un tema que frecuentemente causa mucha confusión entre los principiantes en el estudio de la Teoría de la Relatividad es el hecho de que, formalmente hablando, por un lado tenemos que la definición matemática de lo que es un espacio Euclideano, si tomamos la definición al pie de la letra, nos dice que el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad no es Euclideano; mientras que por otro lado se nos dice que el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad es un espacio-tiempo plano que suponemos Euclideano.

Empezaremos con una de tantas definiciones de un espacio Euclideano que se dan en los libros de texto, todas ellas equivalentes:
“Una métrica Riemanniana g = (gij) especificada en un sistema de coordenadas generalizadas (xi) será la métrica Euclideana sí y solo sí bajo una transformación permisible de las coordenadas, g = (δij).”
En pocas palabras, la métrica es Euclideana si el elemento de línea puede reducirse a una suma de cuadrados todos ellos con signos positivos. Dado cualquier elemento de línea, la forma de saber si se cumple esta condición es reducir el elemento de línea a una suma de cuadrados y ver si todos los signos que anteceden a los componentes son positivos. Hay varias maneras de lograr esto. Una de ellas es el método de Lagrange. Dicho método será discutido con un ejemplo.

Supóngase que tenemos una expresión cuya suma de términos es la siguiente:

Q = x1² + 2x2² - 3x3² - 6x1x2 + 8x1x3 - 4x2x3

Para reducir a Q a una suma de términos cuadráticos eliminando los componentes “cruzados” como x1x2, recogemos primero todos los términos que involucran a x1:

Q = x1² - 6x1x2 + 8x1x3 + 2x2² - 3x3² - 4x2x3

A continuación, factorizamos a x1 de la manera mostrada:

Q = x1² + 2x1(- 3x2 + 4x3) + 2x2² - 3x3² - 4x2x3

A continuación “completamos el cuadrado” de la siguiente manera con el objeto de tener la forma a²+2ab+b²:

Q =________________
____________________________
x1² + 2x1(- 3x2 + 4x3) + (- 3x2 + 4x3 + 2x2²

- 3x3² - 4x2x3 - (- 3x2 + 4x3

De este modo, tenemos adentro:

x1² + 2x1(- 3x2 + 4x3) + (- 3x2 + 4x3 = [x1² - 3x2 + 4x3

Esto nos dá tras unas simplificaciones:

Q = (x1 - 3x2 + 4x3)² - 7x2² - 19x3² + 20x2x3

La simplificación que involucra a x2 y x3 se obtiene fácilmente de la siguiente manera:

- 7x2² + 20x2x3 = -7 [x2²- (20/7) x2x3] =

-7 [x2²- (20/7) x3 + (100/49) x3² ] - (100/7) x3²

Con esto tenemos entonces:

Q = (x1 - 3x2 + 4x3)² - 7 [x2 - (10/7) x3]² + (100/7) x3² - 19x3²

Q = (x1 - 3x2 + 4x3)² - 7 [x2 - (10/7) x3]² - (33/7) x3²

Hágase:

x1 = x1 - 3x2 + 4x3

x2 = x2 - (10/7) x3

x3 = (33/7) x3²

Con estas transformaciones, la expresión original queda reducida a la siguiente suma “diagonal” de cuadrados:

Q = (x1)² - (x2)² - (x3

En base a la definición dada anteriormente, una métrica con esta combinación de cuadrados no es Euclideana, en virtud de que no todos los signos que anteceden a todos los componentes son positivos. Los componentes x2 y x3 son antecedidos por signos negativos.

De este modo, la definición matemática formal de un espacio Euclideano nos dice que un espacio de cualquier número de dimensiones es Euclideano siempre y cuando los coeficientes de la métrica sean todos ellos definitivamente positivos en todo momento (positive definite), lo cual significa que con una transformación apropiada de las coordenadas de dicho espacio el elemento de línea siempre se puede escribir de modo tal que la métrica tenga componentes con signos positivos. Esto equivale a la extensión del teorema de Pitágoras a varias dimensiones:

ds² = (dx1)² + (dx2)² + (dx3)² + (dx4)² + (dx5)² + ...

siendo el lado izquierdo de la ecuación el equivalente del cuadrado de la “hipotenusa” del triángulo rectángulo planar y siendo el lado derecho el equivalente de “la suma de los cuadrados de los catetos” del mismo triángulo rectángulo planar.

Así, un espacio cuyo elemento de línea sea el siguiente:

ds² = (dx1)² - (x3)²(dx2)² + (x1)²(dx3

no puede ser Euclideano porque la suma de cuadrados no es definitivamente positiva, hay un signo negativo puesto sobre el segundo término, y aquí no es posible llevar a cabo una transformación adecuada en cada una de los coordenadas la métrica que la pueda poner en la forma usual del teorema de Pitágoras extendido hacia varias dimensiones.

Veamos ahora la métrica para el 4-espacio de la Teoría Especial de la Relatividad, la métrica del espacio-tiempo Lorentizano, la cual es:

ds² = (cdt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)²

o bien:

ds² = - (cdt)² + (dx)² + (dy)² + (dz)²

En cualquiera de las dos versiones, simple y sencillamente no existe forma alguna en la cual con alguna transformación de las coordenadas podamos poner esta métrica de modo tal que todos los signos de las cuatro componentes tengan signos positivos.

Entonces, según la matemática formal, la geometría de la Teoría Especial de la Relatividad no es una geometría Euclideana.

El principal requisito de naturaleza geométrica para que una geometría pueda ser considerada como una geometría Euclideana es que dentro de dicha geometría se deben cumplir todos los postulados y teoremas de la geometría de Euclides, por ejemplo:

1) Las rectas inicialmente paralelas deben permanecer paralelas al ser trazadas hasta el infinito en la misma dirección sin tocarse ni separarse jamás.

2) La suma de los ángulos internos de todo triángulo debe ser igual a 180 grados.

3) Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Y el problema que enfrentamos es que en el espacio-tiempo Lorentziano, el cual se ha dicho hasta ahora que es un espacio-tiempo plano, contrariamente a lo que nos dice la definición matemática formal de espacio Euclideano se cumplen todos los postulados de la geometría Euclideana.

En lo que concierne a las líneas paralelas, si trazamos en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski las líneas del mundo de dos observadores en resposo el uno frente al otro, las líneas serán perfectamente paralelas en todo momento, nunca se cruzarán ni divergirán la una de la otra, o lo que es lo mismo, una regla en reposo mantendrá la distancia entre sus dos extremos siempre igual en todo momento:





Y en lo que concierne a dos marcos de referencia en movimiento relativo el uno con respecto al otro, si un observador en reposo ve pasar horizontalmente (paralelamente al eje-x) a dos cuerpos (dos naves espaciales, por ejemplo) separadas a cierta distancia la una de la otra pero moviéndose ambas en la misma dirección (en el sentido del eje-x sin movimiento relativo alguno con respecto al eje-y o al eje-z), las naves se mantendrán en sincronía trazando dos rectas paralelas imaginarias en el espacio que van recorriendo. El postulado de las paralelas parece cumplirse aquí al pie de la letra.

Pero el postulado de las paralelas de Euclides no es el único postulado que se cumple cabalmente en el espacio-tiempo Lorentziano. También se cumple el hecho de que la suma de los ángulos internos siempre es igual a 180 grados, ya sea que el triángulo de referencia esté en reposo frente a un observados o que esté en movimiento en relación a dicho observador con efectos relativistas entrando en acción.

PROBLEMA: Demostrar que en un marco de referencia Lorentziano (propio del espacio-tiempo plano de la Teoría Especial de la Relatividad) moviéndose a una velocidad constante con respecto a otro observador situado en un marco de referencia en reposo, la suma de los ángulos internos de un triángulo sigue siendo igual a 180 grados.

Si tenemos un triángulo dentro de un marco de referencia que está en movimiento con respecto a otro observador en reposo, el observador verá una contracción de Lorentz en los lados del triángulo en la dirección del movimiento del marco móvil que supondremos que se está desplazando a lo largo del eje-x. La única contracción que ocurre es en las distancias y longitudes paralelas a la dirección del movimiento, las distancias perpendiculares a la dirección del movimiento permanecen inalteradas.

Un observador que viaje dentro del marco móvil junto con el triángulo ciertamente medirá 180 grados al sumar los ángulos internos del triángulo que está a su lado. Pero un observador externo en reposo verá una contracción de Lorentz en el sentido del movimiento del triángulo. Sin embargo, después de haber tomado en cuenta los efectos cuantitativos ocasionados por la contracción de Lorentz, encontrará que para el triángulo en movimiento que la suma de los ángulos internos sigue siendo igual a 180 grados. Para demostrarlo, podemos llamar a los ángulos internos del triángulo en reposo a, b y c; y podemos llamar a los ángulos transformados (por los efectos de la contracción longitudinal de Lorentz) a’, b’ y c’. Entonces todo lo que tenemos que hacer es demostrar que si:

a + b + c = 180°

entonces:

a’ + b’ + c’ = 180°

una vez que se han aplicado las relaciones de transformación de Lorentz y que se han obtenido las fórmulas para los ángulos transformados. Esta vía de demostración puede ser algo tardada y laboriosa.

Sin embargo, hay otra forma mucho más fácil de demostrar que en un marco de referencia móvil, Lorentziano, propio de un espacio-tiempo plano, la suma de los ángulos internos seguirá siendo 180 grados, y esta consiste esencialmente en demostrar el teorema de la misma manera en la cual se demuestra para el triángulo en reposo.

Puesto que el marco de referencia móvil no es un marco de referencia acelerado, las líneas rectas de un triángulo independientemente del ángulo que formen con la horizontal se mantendrán como líneas rectas una vez que se ha efectuado la contracción de Lorentz. En pocas palabras, si teníamos un triángulo en reposo formado por tres líneas rectas, después de la contracción de Lorentz tendremos otro triángulo cuyos tres ángulos internos ciertamente serán diferentes y cuyos tres lados también tendrán longitudes diferentes pero seguirán siendo líneas rectas. Seguirá siendo un triángulo formado por tres líneas rectas, y por lo tanto la suma de los ángulos internos seguirá siendo 180 grados aún tras los efectos de la contracción de Lorentz.

Con esto en mente, la demostración de que la suma de los ángulos internos de un triángulo “comprimido” por la contracción de Lorentz es igual a 180 grados es la siguiente:

Trácese el triángulo ABC:




A través del vértice A constrúyase una línea paralela a la base del triángulo BC. Siendo paralela la línea HK a la línea BC, esto significa que el ángulo HAB es congruente (lo cual significa “semejante” en una relación de igualdad geométrica) al ángulo interno ABC (medido en grados) por ser ambos ángulos alternos internos. De la misma manera, el ángulo CAK es congruente al ángulo ACB (medido en grados) por las mismas razones.

Puesto que el ángulo HAB, el ángulo BAC (medido en grados) y CAK suman los tres juntos 180 grados, esto significa que:

+ + = 180 grados

En otras palabras, la suma de los ángulos internos del triángulo “comprimido” por la contracción de Lorentz es igual a 180 grados.

Como puede verse en la demostración, la regla de la suma de los ángulos internos de un triángulo es una consecuencia directa del postulado de las paralelas. La demostración se llevó a cabo trazando precisamente una línea paralela a otra. De hecho, la regla de la suma de los ángulos internos de un triángulo es equivalente al postulado de las paralelas de la geometría Euclideana, de modo tal que si removiéramos el postulado de las paralelas de la geometría Euclideana (que viene siendo el quinto postulado de Euclides) y lo reemplazáramos con la regla de la suma de ángulos internos de un triángulo, las geometrías resultantes serían idénticas en todo sentido, excepto que tendríamos que demostrar el postulado de las paralelas a partir de la regla de la suma de ángulos internos de un triángulo.

El argumento llevado a cabo puede ser extendido para confirmar que un triángulo rectángulo seguirá siendo un triángulo rectángulo después de que ha sido objeto de una transformación de Lorentz, y por lo tanto en un marco de referencia Lorentziano móvil también se sigue cumpliendo al pie de la letra el teorema de Pitágoras después de que se hayan aplicado las transformaciones de Lorentz (al aplicar las transformaciones de Lorentz, una recta perpendicular a la dirección del movimiento seguirá siendo perpendicular):





Tenemos entonces lo que parece ser una contradicción monumental de conceptos. Por un lado, la matemática formal nos dice que el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad no es Euclideano, mientras que por otro lado la geometría de los marcos de referencia Lorentzianos parece ser tal que toda la geometría dentro de ella es Euclideana. ¿Quién tiene la razón?

En realidad, no existe contradicción alguna.

Veamos más de cerca la definición del elemento de línea en la Teoría Especial de la Relatividad:

ds² = - (cdt)² + (dx)² + (dy)² + (dz)²

Si en esta definición hacemos al intervalo temporal dt igual a cero (como cuando tomamos una fotografía instantánea de un marco de referencia en movimiento), entonces el elemento de línea que podemos considerar como una especie de “hipotenusa” es:

ds² = (dx)² + (dy)² + (dz)²

O sea, que “la suma de los cuadrados de los catetos” es igual al cuadrado de la “hipotenusa”. Esto sigue al pie de la letra el enunciado básico del teorema de Pitágoras. Pero lo hemos obtenido eliminando a la componente temporal de la métrica. La componente espacial en sí es completamente Pitagórica, y la geometría que está en acción en ella es una geometría Euclideana. Sin embargo, considérese el caso en el cual la magnitud de la componente temporal es exactamente igual a la magnitud de la suma cuadrática de las componentes espaciales. Siendo así, entonces:

ds² = 0

¡Aunque el valor de la componente temporal no sea cero y la suma de los valores de las tres componentes espaciales tampoco lo sea, la longitud de la “hipotenusa” es cero! Esto ciertamente no está predicho por el teorema de Pitágoras en ninguna de sus formas. No es que el teorema de Pitágoras haya dejado de ser válido, lo que sucede es que ya no hay aquí “hipotenusa” sobre la cual pueda ser aplicado.

Y aún en el caso en el que la componente temporal no sea igual a la suma cuadrática de las componentes espaciales, ésta en lugar de aumentar la “longitud” de la “hipotenusa”, ¡la disminuye! Esto tampoco tiene nada de Pitagórico.

Sin embargo, aunque para el elemento de línea ds² en su totalidad la geometría no sea Euclideana, el espacio-tiempo de Lorentz sigue siendo un espacio-tiempo plano. ¿Y qué es entonces lo que nos puede afirmar con tanta seguridad que el espacio-tiempo de Lorentz sea plano? ¡La curvatura de Riemann K, la cual depende del tensor de Riemann! Si la curvatura de Riemann K es igual a cero, entonces el espacio multi-dimensional es plano. Pero si es diferente de cero, entonces es curvo. A Einstein no le llevó mucho tiempo darse cuenta de este hecho.

Podemos convertir un espacio Lorentziano plano en un espacio curvo con el solo hecho de dibujar el equivalente de un marco de referencia móvil plano sobre una membrana flexible (de hule o cualquier otro material plástico), y colocar dicha membrana (estirándola) sobre la superficie de una pelota de modo tal que la forma de la membrana se adapte a la superficie de la pelota. En este caso, la geometría deja de ser definitivamente Euclideana bajo cualquier concepto que se le mire, ya que el triángulo plano se convierte en un triángulo esférico en cuyo interior la suma de los ángulos no puede ser ya igual a 180 grados. Pero para que esto ocurriera, tuvimos que “sacar” al plano Lorentziano de su plano (valga la redundancia) y empotrarlo sobre una dimensión adicional que equivale a una dimensión de profundidad, a una dimensión adicional hacia el interior de la página (o de la pantalla del monitor). Y en este caso la curvatura de Riemann K ya no será igual a cero.

Lo que se ha detallado arriba en relación a la desconexión que hay entre lo que consideramos Euclideano y lo que consideramos plano frecuentemente es enunciado en los textos de Geometría Diferencial y Análisis Tensorial de una manera como la siguiente:
“A la métrica que determina un espacio multidimensional se le considera plana si existe una transformación de las coordanadas que ponga a la métrica en la siguiente forma:

ds² = ε1(dx1)² + ε2(dx2)² + ε3(dx3)² + ... + + εn(dxn

siendo εn = ± 1.”
La métrica del espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad ciertamente cae dentro de esta definición, ya que en cualquiera de sus dos versiones aparece con esta distribución de signos. Matemáticamente hablando, no es Euclideana, puesto que no todos los signos son positivos, pero de acuerdo a esta última definición es plana. La repartición de los signos de acuerdo con el orden en el cual se acostumbra escribir a la métrica es conocida como la firma de la métrica, y es simbolizada poniendo simplemente el mismo orden de los signos en el cual aparecen escritos los coeficientes de los componentes de la métrica. Para el elemento de línea:

ds² = (cdt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)²

la firma de la métrica es (+ - - -), mientras que para el elemento de línea:

ds² = - (cdt)² + (dx)² + (dy)² + (dz)²

la firma de la métrica es (- + + +). Es necesario estar preparado para manejar indistintamente métricas relativistas con ambas firmas, ya que en esto no hay una convención universalmente aceptada.

No es necesario adentrarnos en la definición de la curvatura K de Riemann para poder afirmar que un espacio-tiempo relativista pueda ser plano o curvo. En realidad nos bastará con el tensor de Riemann, o mejor dicho con la contracción de dicho tensor que es conocida como el tensor de Ricci. De cualquier modo, se dará aquí la definición dada por Riemann para especificar la curvatura de una superficie empotrada en un espacio bi-dimensional, un espacio tri-dimensional, o un espacio n-dimensional:



La curvatura de Riemann K en realidad es una extensión hacia un espacio de cualquier número de dimensiones de la definición de la curvatura de Gauss. Obsérvese en esta fórmula que para que la curvatura K sea cero, es necesario que R1212 sea cero. Dada una métrica g, si evaluamos R1212 a partir de la misma entonces podemos determinar de manera inequívoca si la métrica representa un espacio-tiempo plano o un espacio-tiempo curvo. Esta es la razón por la cual estamos interesados en tener una motivación suficiente para haber procedido a un estudio aunque fuese somero del tensor de Riemann.

Asentado lo anterior, estamos ahora en condiciones de enunciar a modo de teorema (demostrado en casi todos los buenos libros de texto sobre el tema) de lo que matemáticamente hablando se entiende por métrica Euclideana:
“Una métrica Riemanniana g = (gij) será la métrica Euclideana sí y solo sí la curvatura Riemanniana K es cero en todos los puntos de la métrica y además es definitivamente positiva (la suma de los cuadrados tiene únicamente signos positivos).”
De este modo, para que una métrica sea Euclideana, en el sentido estricto y formal de la palabra, no basta con que sea definitivamente positiva (positive definite); la curvatura Riemanniana K de la métrica tiene que ser igual a cero en todos los puntos de la métrica.

PROBLEMA: ¿ Es Euclideana la siguiente métrica?

ds² = [(x1)² + (x2)²](dx1)² + [(x1)² + (x2)²](dx2)² + (dx3

La métrica ciertamente es definitivamente positiva. Pero no resulta claro que la curvatura K de la misma sea igual a cero, y esto es algo que tenemos que determinar. Para poder evaluar el componente tensorial R1212 necesitamos obtener primero los símbolos de Christoffel de primer género. Con las simplificaciones usuales para acortar la cantidad de símbolos a ser calculados, notamos primero que el coeficiente g33 de dx3 es una constante (+1) y que tanto g11 como g22 son independientes de x3, lo cual significa que todos los símbolos de Christoffel Γαβγ serán iguales a cero cuando α, β o γ sea igual a 3. Haciendo:

p = (x1)² + (x2

tenemos los siguientes símbolos de Christoffel de segundo género que son diferentes de cero:

Γ111 = x1/p

Γ112 = Γ121 = x2/p

Γ122 = - x1/p

Γ211 = - x2/p

Γ212 = Γ221 = x1/p

Γ222 = x2/p

Con estos símbolos de Christoffel podemos proceder a la evaluación directa de R1212 :

R1212 =

∂Γ122/∂x1 - ∂Γ121/∂x2

+ Γ122 Γ111 + Γ222 Γ121 - Γ121 Γ112 - Γ221 Γ122

Substituyendo valores y simplificando, encontramos que R1212 = 0. No es necesario bajar el índice de R1212 con la ayuda del tensor métrico conjugado, puesto que si R1212 es igual a cero entonces R1212 también lo será. Y siendo R1212 igual a cero la curvatura de Riemann K también será igual a cero. Al cumplirse al pie de la letra los dos requerimientos formales para que la métrica sea Euclideana (definitivamente positiva, con curvatura K = 0 en todos los puntos de la métrica), concluímos que la métrica dada es, en efecto, Euclideana.

PROBLEMA: ¿ Es Euclideana la siguiente métrica? El 4-espacio de la métrica, ¿es plano o curvo?

ds² = (dx1)² + 4(x2)²(dx2)² + 4(x3)²(dx3 - 4(x4)²(dx4

La métrica no es Euclideana porque no es definitivamente positiva a causa del signo negativo que tenemos en el componente que corresponde a dx4. No hay transformación alguna que podamos llevar a cabo para convertir a esta métrica en una métrica Euclideana removiéndole el signo negativo. En lo que respecta a si el 4-espacio es plano o curvo, para ello tenemos que evaluar el componente R1212 del tensor de Riemann. A partir de los componentes del tensor métrico g que nos resultan del elemento de línea:

g11 = 1___g22 = 4(x2___g33 = 4(x3___g44 = - 4(x4

los únicos símbolos de Christoffel de segundo género para esta métrica que no son cero resultan ser los siguientes:

Γ222 = 1/x2____Γ333 = 1/x3____Γ444 = 1/x4

Lo primero que notamos es que todos los símbolos de Christoffel de segundo género Γαβγ para esta métrica son cero a menos de que α = β = γ. Esto nulifica a los términos en R1212 que involucran a derivadas parciales, dejándonos con R1212 = 0 y consecuentemente con una curvatura Riemanniana K = 0. El 4-espacio dado es, por lo tanto, plano. Sin embargo, no es Euclideano, al igual que como ocurrió con el caso de la métrica Lorentziana de la Teoría Especial de la Relatividad.

En general, un espacio plano no es necesariamente Euclideano, pero un espacio Euclideano necesariamente debe ser un espacio plano.

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