miércoles, 18 de marzo de 2009

La derivada covariante de un tensor IV

Una vez que hemos entendido bien la naturaleza de los símbolos de Christoffel y cómo se obtienen a partir del tensor métrico g, el siguiente paso natural consiste en utilizarlos para obtener la derivada covariante de cualquier tensor T. El primer término en la derivada covariante de un tensor dado será simplemente la derivada ordinaria del tensor con respecto a la coordenada específica sobre la cual se esté evaluando el componente tensorial. Los demás términos serán los términos de “corrección” necesarios para que la derivada del tensor sea también un tensor, y cada uno de estos términos de corrección será el producto de un símbolo de Christoffel por el tensor que va apareado con dicho tensor dependiendo del tipo de tensor del que se trate, ya sea un tensor covariante (con un sub-índice), un tensor contravariante (con un super-índice), o inclusive un tensor mixto que pueda tener varios sub-índices y super-índices. Cada índice covariante (sub-índice) dá lugar a un término de “término de corrección” que va de acuerdo con la definición de la derivada covariante de un tensor covariante, y cada índice contravariante (super-índice) dá lugar a un término de “término de corrección” que va de acuerdo con la definición de la derivada covariante de un tensor contravariante, razón por la cual resulta ventajoso aprenderse ambas fórmulas de memoria o tenerlas a la mano cuando se van a utilizar en la evaluación de la derivada covariante de un tensor mixto con varios índices. Con el objeto de que se vaya adquiriendo familiaridad en la aplicación de las fórmulas, a continuación se verán varios problemas en los cuales obtenemos la derivada covariante de varios tensores, la cual será simbolizada por la notación del semicolon. Es importante no perder la perspectiva de que en los “términos de corrección” la convención de sumación para índices repetidos se aplica en toda la extensión de la palabra, y cada término de corrección inevitablemente generará varios términos adicionales. Es aquí cuando apreciamos la ventaja simplificadora de la convención de sumación que nos permite omitir el tener que escribir los símbolos de sumatoria Σ que sólo agregarían más confusión a una notación de por sí extensa.

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjk con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor covariante de orden dos. Tendremos por lo tanto dos términos de corrección, ambos de signo negativo de acuerdo a la definición de la derivada covariante de un tensor covariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjk con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor contravariante de orden dos. Tendremos por lo tanto dos términos de corrección, ambos de signo positivo de acuerdo a la definición de la derivada covariante de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tj k con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor mixto de orden dos, covariante de orden uno y contravariante de orden uno. Tendremos por lo tanto dos términos de corrección, uno con signo positivo y el otro con signo negativo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjkl con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor mixto de orden tres, covariante de orden dos y contravariante de orden uno. Tendremos por lo tanto tres términos de corrección, dos con signo negativo y el otro con signo positivo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjkl con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor mixto de orden tres, covariante de orden uno y contravariante de orden dos. Tendremos por lo tanto tres términos de corrección, uno con signo negativo y los otros dos con signo positivo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklm con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cuatro, covariante de orden dos y contravariante de orden dos. Tendremos por lo tanto cuatro términos de corrección, dos con signo negativo y los otros dos con signo positivo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklm con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cuatro, covariante de orden tres y contravariante de orden uno. Tendremos por lo tanto cuatro términos de corrección, tres con signo negativo y el otro con signo positivo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklm con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cuatro, covariante de orden uno y contravariante de orden tres. Tendremos por lo tanto cuatro términos de corrección, tres con signo positivo y el otro con signo negativo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklmn con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cinco, covariante de orden dos y contravariante de orden tres. Tendremos por lo tanto cinco términos de corrección, tres con signo positivo y dos con signo negativo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del tensor Tjklmn con respecto a xq.

En este caso, tenemos un tensor mixto de orden cinco, covariante de orden tres y contravariante de orden dos. Tendremos por lo tanto cinco términos de corrección, dos con signo positivo y los otros tres con signo negativo de acuerdo a las definiciones de la derivada covariante de un tensor covariante y de un tensor contravariante. La respuesta a este problema es la siguiente:



Una vez familiarizados con la derivación covariante de tensores, podemos investigar las similitudes que hay entre la diferenciación ordinaria y la diferenciación covariante. Y encontraremos que hay muchas similitudes.

PROBLEMA: En el cálculo diferencial ordinario, el diferencial del producto de dos funciones u y v es igual al producto de la primera función u por la diferencial dv de la segunda más la segunda función v por la diferencial du de la primera:

d(uv) = udv + vdu

Esta regla es conocida como la regla de Leibniz. Demostrar que para el producto de dos tensores T y S también tenemos una regla similar.

La demostración se puede llevar a cabo para dos tensores covariantes, o dos tensores contravariantes, o una mezcla de ambos tipos. Para una demostración lo más amplia posible que cubra a ambos tipos, nos conviene considerar a T y a S como tensores mixtos del mismo orden, de orden dos, lo cual cubre todas las posibilidades. No es necesario considerar tensores de orden mayor.

Si T y S son tensores mixtos de orden dos, entonces T = (Ti j) y S = (Si j). El producto de dichos tensores, componente por componente, será (recuérdese la definición del producto externo de dos tensores):

TS = U = (Tpr · Sqs)

A continuación formaremos la suma del producto de la derivada covariante del tensor T (la cual simbolizaremos con la notación del semicolon puesto como sub-índice) por el tensor S y del producto del tensor T por la derivada covariante del tensor S, lo cual es el símil de la regla de Leibinz en el cálculo diferencial ordinario:

(Tpr ; k) · (Sqs) + (Tpr) · (Sqs ; k)

Queremos demostrar que esto se nos reduce a la derivada covariante de algo como U = (Upqrs) (recuérdese que el producto de dos tensores mixtos de orden dos nos debe producir un tensor de orden 4, covariante de orden dos y contravariante de orden dos), o sea a:

Upq rs ; k

Para formar la suma de productos Leibniz indicada arriba, a continuación podemos aplicar directamente la definición de la derivada covariante metiendo en el panorama a los símbolos de Christoffel, tomando en cuenta que se trata tanto de la derivada covariante del tensor T como de la derivada covariante del tensor S:



Podemos remover los paréntesis, reagrupar, y simplificar usando el hecho de que por la definición del producto externo de dos tensores:

(Ttr) · (Sqs) = Utq rs

(Tpr) · (Sts) = Upt rs

(Tpt) · (Sqs) = Upq ts

(Tpr) · (Sqt) = Upq rt

Con todo esto tenemos entonces lo siguiente:



Lo que se ha puesto de color rojo entre los paréntesis es algo que puede ser simplificado, ya que es esencialmente igual a la derivada parcial ordinaria (¡no covariante!) de Upq rs:

(Upq rs),k = Upq rs,k = ∂Upq rs/∂xk

Entonces lo anterior se nos convierte en:

Upq rs/∂xk + Γptk Utq rs + Γqtk Upt rs - Γt rk Upq ts - Γi jk Upq rt

Pero todo esto no es más que la derivada covariante de Upq rs, siendo el tensor U el producto directo de los tensores S y T, o sea Upq rs;k. Entonces:

Upq rs;k =

(Tpr · Sqs);k = (Tpr ; k) · (Sqs) + (Tpr) · (Sqs ; k)

En notación de componentes, ésto último es la regla de Leibniz para la derivada covariante del producto de dos tensores T y S. Simbólicamente, en una forma más compacta, podemos representar la regla de la siguiente manera:

[TS]; k = T; k S + TS; k

La regla de Leibniz para la derivada covariante del producto de dos tensores también se representa simbólicamente de otras maneras, por ejemplo:

∇(T S) = (∇T) ⊗ S + T ⊗ (∇S)

Desafortunadamente, este último tipo de representación no va muy de acuerdo con el uso que normalmente se le dá al operador vectorial diferencial nabla ∇, y se puede prestar a confusiones, aunque tiene la ventaja de utilizar el operador “⊗” para distinguir el producto directo de los dos tensores (producto externo) del producto interno de tensores que implica una contracción al aplicarse la convención de sumación para índices repetidos. Quizá una mejor forma de representar la regla de Leibniz para derivadas covariantes consiste en tomar lo mejor de ambas simbología y escribirla del siguiente modo:

[T S]; k = [T; kS] + [T S; k]


PROBLEMA: Obtener la derivada covariante del siguiente producto directo de tensores:

Uj k Vlm n

(1) aplicando primero al pie de la letra la definición de la derivada covariante al producto tensorial dado, y (2) aplicando la regla de Leibniz.

Si tomamos directamente el producto tensorial dado y le aplicamos la definición de la derivada covariante, tenemos lo siguiente:



Simplificando (tomando la derivada parcial ordinaria del producto de
Uj k y Vlm n reagrupando bajo paréntesis los términos comunes a cada uno de los dos tensores mixtos):



Pero el factor entre paréntesis del primer término es simplemente la derivada covariante de
Ujk con respecto a xq, mientras que el factor entre paréntesis del segundo término es simplemente la derivada covariante de Vlmn con respecto a xq. Entonces:

(Uj k Vlm n) ; q = Uj k ; q Vlm n + Uj k Vlm n ; q

(2) La aplicación de la regla de Leibniz nos dá el mismo resultado que acabamos de obtener, pero de manera mucho más rápida.

Como puede verse, la derivada covariante de un producto de tensores obedece las mismas reglas que las que se aplican a las derivadas ordinarias del cálculo infinitesimal.


PROBLEMA: Demostrar que la derivada covariante del tensor métrico g es igual a cero.

Aplicando rigurosamente la definición de la derivada covariante a la diferenciación covariante del tensor métrico g = (
gjk), tenemos lo siguiente:



Como puede verse, tanto en el segundo término como en el tercer término del lado derecho se pueden bajar los índices de los símbolos de Christoffel por la acción del tensor métrico, convirtiendo a ambos en símbolos de Christoffel de primer género:



Pero por otro lado tenemos la identidad tensorial:



Con esto el resultado se nos hace cero. La derivada covariante del tensor métrico g es igual a cero.

PROBLEMA: Demostrar que la derivada del tensor métrico conjugado g
-1 es igual a cero.

Aplicando rigurosamente la definición de la derivada covariante a la diferenciación covariante del tensor métrico conjugado g-1 = (gjk), tenemos lo siguiente:



Pero aquí tenemos también otra identidad tensorial fácilmente demostrable:



con la cual
el resultado se nos hace cero. La derivada covariante del tensor métrico conjugado g-1 es igual a cero.

PROBLEMA: Demostrar que la derivada covariante del tensor delta Kronecker es igual a cero.

Aplicando rigurosamente la definición de la derivada covariante a la diferenciación covariante del tensor mixto delta Kronecker δ = (δjk), tenemos lo siguiente:



La derivada ordinaria del tensor delta Kronecker es igual a cero porque el tensor delta Kronecker contiene únicamente términos constantes. Aplicando la propiedad del tensor delta Kronecker para el reemplazo de los índices, esto nos deja únicamente con lo siguiente:



Entonces la derivada covariante del tensor delta Kronecker δ es igual a cero.

PROBLEMA: Obtener la derivada covariante de:

gjkTkmn

La relación dada es el producto (exterior) del tensor métrico g por otro tensor mixto T. Podemos aplicar aquí la regla de Leibniz obtenida previamente para la derivada covariante del producto de dos tensores, lo cual nos dá:

(gjkTkmn);q = gjk;qTkmn + gjkTkmn;q

El primer término se hace cero en virtud de que por uno de los problemas resueltos previamente la derivada covariante del tensor métrico g es igual a cero, quedándonos como resultado final el siguiente:

(gjkTkmn);q = gjkTkmn;q

En general, al llevar a cabo una diferenciación covariante, tanto el tensor métrico g como el tensor métrico conjugado
g-1 como el tensor delta Kronecker δ pueden ser tratados como si fuesen constantes.

Antes de dejar este tema, veremos algo de interés relacionado con lo que hemos estado tratando y la Teoría de la Relatividad.

PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel de primer género para el 4-espacio de la Teoría Especial de la Relatividad.

Para el espacio-tiempo de la Teoría Especial de la Relatividad podemos utilizar como elemento de línea ds² el siguiente:

ds² = (cdt)² - (dx)² - (dy)² - (dz)²

que en coordenadas generalizadas haciendo:

(x1, x2, x3, x4) = (ct, x, y, z)

podemos escribir como:

ds² = (x1)² - (x2)² - (x3)² - (x4

De aquí podemos obtener directamente los elementos del tensor métrico g para este 4-espacio, que son:

g11 = 1

g22 = g33 = g44 = -1

gij = 0 para i ≠ j

Con esto, la evaluación de los símbolos de Christoffel de primer género es directa e inmediata, y todos ellos son iguales a cero porque todos los gij son constantes o son cero, como en el siguiente caso en el que i = 2, j = 2 y k = 4:

Γijk = (- gij,k + gjk,i + gki,j)/2

Γ224 = (- g22,4 + g24,2 + g42,2)/2

Γ224 = (- ∂g22/∂x4 + g24/∂x2 + g42/∂x2)/2

Γ224 = [0 + 0 + 0]/2

Γ224 = 0

Al ser todos los símbolos de Christoffel de primer género iguales a cero, los símbolos de Christoffel de segundo género son también iguales a cero. Puesto que los símbolos de Christoffel cuando son diferentes de cero indican la posible presencia de una curvatura en el espacio bajo consideración (esto se verá posteriormente cuando tratemos el tema del tensor de Riemann), al ser todos cero para el intervalo relativista propio de la Teoría Especial de la Relatividad tenemos nuestra primera confirmación matemática formal de que el espacio-tiempo Lorentziano es un espacio-tiempo plano.

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