miércoles, 18 de marzo de 2009

Electrodinámica relativista I

Aunque este tema correponde más bien a la Teoría Especial de la Relatividad que a la Relatividad General, se ha puesto aquí siguiendo no sólo la metodología pedagógica que indica que los temas deben ser puestos en orden ascendente de dificultad sino tomando en cuenta el hecho de que el tratamiento del tema requiere de un conocimiento previo del análisis tensorial que no se acostumbra dar en un curso introductorio de la Teoría Especial de la Relatividad pero que es mandatorio antes de entrar de lleno en el tema de la Relatividad General. Este tema requiere de cierta familiaridad con las nociones básicas del electromagnetismo.

Antes de que hubiera una Teoría de la Relatividad, ya había una teoría matemática del electromagnetismo en la cual se inspiró Einstein, a grado tal que su primera publicación se tituló “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”. Estudiar los orígenes de las ideas de Einstein invariablemente lleva a cualquiera a estudiar los tratados del matemático James Clerk Maxwell basadas en la tesis de que en los fenómenos electromagnéticos lo que importa es el movimiento relativo de las cargas eléctricas y los campos eléctricos en movimiento.

Empezaremos con el estudio de una señal viajera que en cierto instante de tiempo podemos visualizar como estacionaria con la siguiente forma de onda que corresponde a una onda senoidal alternando entre valores positivos y negativos:





La ecuación que nos describe una onda de este tipo cuya amplitud (que puede ser la amplitud de un campo eléctrico E o de un campo magnético B) es A es la siguiente:

y(x) = A sen(kx)

en donde k es una constante numérica conocida como la constante de propagación cuya única función es “estirar” o “comprimir” la onda senoidal horizontalmente.

Si queremos poner a la onda estacionaria de arriba en movimiento, basta con modificar la expresión agregando la variable tiempo t de la siguiente manera:

y(x) = A sen(kx - ωt)

en donde ω es otra constante numérica cuya función es fijar la velocidad a la cual se está desplazando la señal hacia la derecha (si queremos que la señal se desplace hacia la izquierda al ir aumentando el valor de t en el sentido positivo, reemplazamos el signo negativo con un signo positivo).

La ecuación anterior es válida en una sola dimensión medida a lo largo del eje-x. Pero si queremos describir una onda senoidal viajando en un espacio tri-dimensional Cartesiano, reemplazamos a la variable x por el vector posición x = (x1,x2,x3) multiplicado en producto escalar vectorial por el vector de propagación k = (k1,k2,k3) de modo tal que:

k · x = (k1,k2,k3) · (x1,x2,x3) = k1x1 + k2x2 + k3x3

De este modo, llegamos a la siguiente ecuación de onda en donde haremos un ligero cambio de notación para denotar la amplitud instantánea como φ y la amplitud máxima como φ0:

φ(x) = φ0 sen(k · x - ωt)

Otra ecuación igualmente válida es la siguiente en la cual usamos la función cosenoidal en lugar de la función senoidal:

φ(x) = φ0 cos(k · x - ωt)

Usando la ecuación de Euler:

e = cos θ + i sen θ

podemos escribir:

φ = φ0 exp i(k · x - ωt)

Esta es la ecuación general de una onda viajera plana de amplitud φ0 medida por un observador en reposo. Esperamos que, desde la perspectiva de la Teoría de la Relatividad, la ecuación de esta onda viajera para otro observador en movimiento relativo con respecto al observador en reposo, tenga la misma forma (invariante):

φ’ = φ0 exp i(k’ · x’ - ωt’)

La onda plana debe seguir siendo plana porque la transformación del marco de referencia S al marco de referencia S’ es una transformación linear (transformación de Lorentez).

A continuación llevaremos a cabo la construcción de un 4-vector que llamaremos K, un 4-vector de propagación que añadiremos a nuestra lista de 4-vectores. Para ello, escribiremos los “factores de fase” de las ondas φ y φ’ de la siguiente manera como el producto vectorial escalar de dos vectores de dos componentes cada uno:

k · x - ωt = k · x + (iω/c)(ict)

k · x - ωt = (k, iω/c) · (x, ict)

k · x - ωt = K · X

y del mismo modo:

k’ · x’ - ωt = (k’, iω/c) · (x’, ict) = K’ · X


Ahora bien, habiendo hecho x4 = ict, con lo cual:

X = (x, x4) = (x1, x2, x3, x4)

no nos debe quedar ninguna duda de que este es un 4-vector posición, y de que el producto escalar K · X es una invariante, o sea:

K’ · X = K · X

Se concluye que K es un 4-vector de propagación cuyas componentes espaciales son las mismas de k y cuya cuarta componente, la componente temporal, es iω/c. Siendo así, las cuatro componentes del 4-vector K se deben transformar de manera idéntica a como se transforman las componentes del 4-vector posición X. Esta similitud nos permite obtener las ecuaciones de transformación del 4-vector K para pasarlo de un sistema de referencia S a otro sistema de referencia S’. Haciendo una comparación con la fórmula para la componente temporal t’ que obtuvimos en la entrada previa “Rotaciones y transformaciones” para la transformación generalizada de Lorentz:



puesto que t en esta fórmula se corresponde con ω/c² y puesto que x se corresponde con k, tenemos entonces el siguiente resultado:



Si la velocidad del marco de referencia S’ con respecto al marco de referencia S es v, y si θ es el ángulo entre los 3-vectores k y v, entonces con k = ω/c² obtenemos la siguiente expresión que nos proporciona la frecuencia de la onda electromagnética en el sistema S’:

ω’ = γω [1 - (v/c) cos θ]

que podemos escribir de la siguiente manera:



Esta, desde luego, es la fórmula para el desplazamiento Doppler relativista.

Ahora bien, para una “nube de carga eléctrica”, en un sistema de referencia S en donde la carga eléctrica está en reposo, un elemento infinitesimal de carga eléctrica dq está dado por el producto de la densidad de carga eléctrica ρ0 y un elemento infinitesimal de volumen:

dq = ρ0 dV

Si bajo un esquema relativista la carga eléctrica es algo que debe ser conservado, entonces la carga eléctrica dq, vista desde un sistema de referencia S’ en movimiento, debe permanecer invariable, esto es:

dq = ρ0 dV = ρ0 dV’ = dq’

en donde:

dV = dx1 dx2 dx3__en S

dV’ = dx’1 dx’2 dx’3__en S’

Si S’ se mueve a lo largo del eje-x1 de S con una velocidad V, entonces dx’2 = dx2 y dx’3 = dx3, pero dx’1 experimentará una contracción relativista de longitud igual a:

dx’1 = dx11 - V²/c²

Entonces:

ρ0 dV = ρ dV’ = ρ dx’1 dx’2 dx’3 = ρ dx1 dx2 dx31 - V²/c²

ρ0 dV = = ρ dV √1 - V²/c²

Esto se traduce en una variación de la densidad de carga eléctrica por unidad de volumen de acuerdo con la relación:

ρ = ρ0 /√1 - V²/c²

De este modo, la densidad de carga eléctrica ρ de un sistema en movimiento está relacionada con la densidad de carga local ρ0 de la misma manera en que la masa y la masa propia están relacionadas. La ley de la conservación de la carga eléctrica se sigue aplicando a la carga total pero no a la densidad de carga eléctrica.

Clásicamente, en el 3-espacio Euclideano, la densidad de corriente eléctrica J es simplemente la cantidad de carga por unidad de tiempo que está atravesando una superficie en un momento dado:





En la figura de arriba, una corriente eléctrica de 4 amperes está circulando a través de un conductor cuyo tramo inicial tiene una superficie transversal S1 igual a 4 centímetros, la cual se reduce a una superficie transversal S2 igual a 1 centímetro cuadrado. Obviamente, la densidad de corriente eléctrica es cuatro veces mayor en el segundo tramo del conductor que en el primero, esto es precisamente lo que nos mide el J tridimensional. La corriente de carga eléctrica I que está atravesando una superficie está dada por la siguiente definición vectorial:



siendo n un vector unitario normal a la superficie que está siendo atravesada por la corriente y siendo J = (Jx, Jy, Jz). Por su parte, el 4-vector densidad de corriente J = (Jμ) está definido como se ha indicado arriba, siendo ρ la densidad de carga eléctrica de modo tal que la carga infinitesimal dQ en un volumen pequeño está dada por ρd3x, o bien, para la carga completa encerrada en un 3-volumen Euclideano:

Q = ρ dx dy dz

Resulta obvio que en la teoría relativista la densidad de corriente eléctrica J y la densidad de carga eléctrica ρ no pueden ser entidades físicas independientes puesto que una carga eléctrica que permanece estática en un sistema de referencia en reposo S se nos convertirá en una distribución de corriente eléctrica en un marco de referencia móvil. Esto nos proporciona la justificación que necesitamos para juntar la densidad de corriente eléctrica J y la densidad de carga eléctrica ρ en un 4-vector J de la siguiente manera:

J = (cρ, J)

J = (cρ, ρu)

J = (cρ0 /√1 - V²/c², uρ0 /√1 - V²/c²)

J = ρ0 (c /√1 - V²/c², uρ0 /√1 - V²/c²)

J = ρ0 (γc, γu)

Aquí podemos reconocer casi de inmediato lo que tenemos entre los paréntesis. Es el 4-vector velocidad U que ya habíamos visto con anterioridad al introducir el tema de los 4-vectores. Es así como llegamos al siguiente resultado básico:

J = ρ0 U

Puesto que ρ0, la densidad de carga eléctrica local medida en el sistema de referencia en reposo S, es una invariante escalar, y U es un 4-vector, el 4-vector velocidad, J debe poseer las mismas propiedades de transformación de U y por lo tanto también es un 4-vector.

Ya se ha mencionado con anterioridad cómo para desarrollar la Teoría Especial de la Relatividad Einstein se inspiró en la teoría del electromagnetismo de Maxwell, en la cual tampoco hay observadores privilegiados capaces de poder detectar el movimiento absoluto. Siendo así, no nos debe extrañar el que las ecuaciones de campo del electromagnetismo son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz.

En la electrodinámica clásica, tanto el vector del campo eléctrico E = (E1,E2,E3) como el vector del campo magnético B = (B1,B2,B3) no son 4-vectores, constan de tres componentes. Sin embargo, las seis componentes E1, E2, E3, B1, B2 y B3 pueden ser utilizadas para definir un tensor antisimétrico como lo veremos a continuación. En el procedimiento, utilizaremos la convención:

(x1, x2, x3, x4) = (ct, x, y, z)

PROBLEMA: Se puede definir un tensor antisimétrico F = (Fμν) mediante las siguientes relaciones:

F1i = - Ei __(i = 2, 3, 4)

F24 = B2___F32 = B3___F43 = B1

Encontrar todas las demás componentes a partir de estas relaciones y acomodarlas en un arreglo matricial.

Puesto que F es un tensor antisimétrico, entonces todos los elementos en la diagonal principal de la matriz deben ser iguales a cero:

F11 = F22 = F33 = F44 = 0

Por otro lado, puesto que F1i = - Ei para i = 2, 3, 4:

F12 = - E1___F13 = - E2___F14 = - E3

y en virtud de la antisimetría:

F21 = E1___F31 = E2___F41 = E3

Más aún:

F24 = B2___F32 = B3___F43 = B1

y en virtud de la antisimetría:

F42 = - B2___F23 = - B3___F34 = - B1

Tenemos todos los elementos que necesitamos para acomodarlos en la siguiente matriz:





Este tensor es mejor conocido como el tensor de Faraday, y logra unifica en un 4-espacio las tres componentes del vector campo eléctrico E con las tres componentes del vector campo magnético B.

Si en vez de utilizar sub-índices numéricos para representar los componentes alineados con las coordenadas generalizadas de los componentes de E y B utilizamos lo que realmente significan dichos sub-índices en coordenadas Cartesianas (rectangulares) entonces el tensor de Faraday que tenemos arriba, un tensor contravariante de orden dos, se puede escribir del siguiente modo menos confuso:



Es importante tomar nota de lo siguiente: los sub-índices numéricos empleados para distinguir las componentes de E y de B no se corresponden directamente con los índices numéricos empleados para distinguir los 16 componentes del tensor de Faraday.

Una cosa que suele sorprender a algunos principiantes en el tema de la Relatividad General es que el tensor métrico g, muy característico de la métrica que describe la curvatura del espacio-tiempo en un 4-espacio relativista, pueda ser utilizado también para subir los índices de los componentes de un tensor electromagnético, tomando en cuenta el hecho de que el electromagnetismo y la gravedad son dos fenómenos físicos diferentes. No lleva mucho tiempo adaptarse a esta nueva idea siempre y cuando nos mantengamos en el ámbito de la Teoría Especial de la Relatividad, llevándonos a sospechar eventualmente que el campo electromagnético y el campo gravitacional tal vez puedan ser unificados bajo un solo esquema matemático, y de hecho esto sucedió como lo demuestró el trabajo de Kaluza-Klein al respecto. Aceptando esto como un hecho, podemos utilizar al tensor métrico g del espacio-tiempo plano de la Teoría Especial de la Relatividad para bajar ambos índices del tensor de Faraday dado arriba. Podemos obtener el tensor de Faraday con dos índices covariantes bajando cada índice del tensor de Faraday que se acaba de dar arriba con la ayuda del tensor métrico g = (gαβ) que corresponde al elemento de línea propio de un 4-espacio Lorentziano en donde hacemos c = 1 para fines de simplificación:



la operación del descenso de los dos índices se puede representar de la siguiente manera:

Fαβ = gαγ Fγδ gδβ

La ecuación anterior es una ecuación tensorial en notación de componentes que requiere llevar a cabo una doble sumatoria sobre los índices repetidos. El cómputo se puede facilitar si en lugar de la ecuación tensorial utilizamos la ecuación matricial correspondiente:



Podemos multiplicar las dos primeras matrices y multiplicar el producto resultante por la tercera matriz, o podemos multiplicar las últimas dos matrices y multiplicer el producto resultante por la primera matriz, el resultado será el mismo en virtud de la propiedad asociativa de la multiplicación de matrices. Multiplicando la segunda matriz por la tercera matriz obtenemos lo siguiente:



A continuación pre-multiplicamos esta matriz por la primera matriz para así obtener los componentes del tensor de Faraday en su representación tensorial covariante:



Este es el tensor de Faraday en su representación como un tensor covariante:





Resulta obvio que los elementos de Fαβ se pueden obtener a partir de los elementos de Fαβ con la simple inversión de los signos de los componentes de E, o sea sustituyendo E por -E.

Al igual que como lo hicimos arriba, podemos representar los componentes de los campos E y B mediante notación Cartesiana que nos puede ahorrar equivocaciones y confusiones:



Otra variante del tensor de Faraday que resulta extremadamente útil es el tensor dual de fuerza del campo electromagnético o simplemente el tensor de fuerza del campo electromagnético, para cuya obtención definimos primero el siguiente tensor (o mejor dicho, pseudotensor) ε = (εαβγδ) de orden cuatro totalmente antisimétrico:

εαβγδ = + 1 para α = 1, β = 2, γ = 3 y δ = 4 o cualquier permutación par de índices

εαβγδ = - 1 para cualquier permutación impar de índices

εαβγδ = 0 si dos índices son iguales

Con esta definición, y llevando a cabo las sumatorias para la evaluación de componentes individuales, obtenemos el siguiente tensor de fuerza del campo electromagnético:





Comparando este tensor con el tensor Fαβ, podemos ver que lo podemos obtener de Fαβ haciendo los cambios E B y B- E en Fαβ .

De este modo, al igual que como ocurre con la Teoría Especial de la Relatividad en la cual el espacio y el tiempo son unificados bajo un solo concepto en un espacio-tiempo cuatri-dimensional como un vector que incluye los componentes de ambos, en el electromagnetismo de Maxwell el campo elétrico y el campo magnético también pueden ser unificados bajo el tensor de orden dos conocido como el tensor de Faraday en donde B = (Bx,By,Bz) es la parte magnética del campo electromagnético expresada en sus tres componentes espaciales Cartesianas, y E = (Ex,Ey,Ez) es la parte eléctrica del mismo campo electromagnético.

¿Podemos recuperar las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell a partir del tensor de Faraday? La respuesta es afirmativa, pero para ello necesitamos de la ayuda de dos ecuaciones diferenciales adicionales, siendo la primera de ellas la siguiente:



En notación de la coma utilizada para simbolizar derivadas, esta ecuación se escribe de la manera siguiente (aquí no empleamos a la derivada covariante simbolizada con el semicolon puesto que todo lo que está siendo desarrollado aquí pertenece al campo de la Teoría Especial de la Relatividad):



PROBLEMA: Demuéstrese que la ecuación que se acaba de proporcionar nos conduce directamente al principio de la conservación de la carga eléctrica Jμ= 0.

Escribiendo la relación con un ligero cambio de notación, en su forma explícita:



La condición matemática para la conservación de la carga eléctrica, Jμ= 0, requiere que tomemos la derivada con respecto xμ, lo cual en conformidad con la convención para índices repetidos activa la sumación de términos. Tomando, pues, la derivada con respecto a xμ en ambos lados de la ecuación:



Sin embargo, el tensor de Faraday F = (Fαβ) es antisimétrico, o sea que Fμν = - Fνμ, lo cual implica a su vez que:



en donde hemos invertido también el orden de la diferenciación dado que en la diferenciación ordinaria (a diferencia de lo que ocurre con la derivada covariante) el orden de la diferenciación no altera el resultado final. Pero en el lado derecho de la ecuación los índices que tenemos son índices monigote, los cuales podemos renombrar como δ, λ, ξ, lo que queramos, siempre y cuando mantengamos la misma forma. Aquí simplemente cambiaremos μ por ν y viceversa:



Lo que tenemos entonces es una expresión del tipo a = -a. Pero ninguna cantidad puede ser igual al negativo de la misma, a menos de que esta sea cero. Se concluye que el lado izquierdo de la expresión debe ser igual a cero, dejándonos únicamente con:

Jμ= 0

que es la condición para la conservación de la carga eléctrica.

PROBLEMA: Obtener la primera ley del electromagnetismo de Maxwell, ∇·E = 4πρ, a partir del tensor de Faraday.

Empezamos con la relación dada arriba, escrita en su forma más explícita:



Poniendo β = 1 en la expresión y desarrollando la sumatoria de acuerdo a la convención de sumación para índices repetidos, tenemos lo siguiente:



Puesto que F11 = 0, se ha puesto de color rojo el primer término, con lo cual sólo nos quedan tres términos en el lado izquierdo de la ecuación. Para mayor claridad, se harán de lado las coordenadas generalizadas y se escribirán los componentes del tensor de Faraday en función de las coordenadas rectangulares Cartesianas regulares. Substituyendo los valores del tensor de Faraday de conformidad con lo que tenemos arriba:



Se ha subsituído el valor correspondiente al primer componente J1 en el 4-vector J = (Jβ) que como se definió arriba es igual a cρ. No nos lleva mucho tiempo identificar lo que tenemos en el lado izquierdo de la ecuación; se trata de la divergencia del vector de campo eléctrico E. Entonces lo anterior se puede simplificar y escribir como:

∇·E = 4πρ

Esta es precisamente la primera ley de Maxwell que nos describe la divergencia de las líneas de fuerza del campo eléctrico E para una carga eléctrica puesta dentro de una superficie cerrada.

PROBLEMA: Obtener la ley de Maxwell:



a partir del tensor de Faraday.

Usaremos la misma ecuación diferencial utilizada en el problema anterior, esta vez poniendo β = 2, β = 3 y β = 4. Empezaremos con β = 2:



Puesto que F22 = 0, se ha puesto de color rojo el segundo término, con lo cual sólo nos quedan tres términos en el lado izquierdo de la ecuación. Nuevamente, para mayor claridad, se harán de lado las coordenadas generalizadas y se escribirán los componentes del tensor de Faraday en función de las coordenadas rectangulares Cartesianas regulares. Substituyendo los valores del tensor de Faraday de conformidad con lo que tenemos arriba:



Reacomodando, tenemos nuestra primera relación:



Procediendo de la misma manera, obtenemos para β = 3:







Finalmente, para β = 4, obtenemos:





Pero las tres relaciones obtenidas se pueden simplificar metiéndolas en una sola con la ayuda del operador rotacional que consiste en tomar el producto cruz del operador diferencial vectorial ∇ con el campo magnético y utilizar las relaciones en el orden requerido para obtener la ecuación de Maxwell pedida. A partir de su definición, el vector rotacional definido sobre un vector A en función de sus tres componentes espaciales es obtenido mediante el siguiente determinante:



Haciendo esto obtenemos la ley de Maxwell pedida al principio del problema.

Nos faltan otras dos ecuaciones de Maxwell que aún no hemos obtenido a partir del tensor de Faraday. Para obtenerlas, necesitamos una segunda ecuación diferencial que es la siguiente en función del tensor dual de fuerza del campo electromagnético (se muestran tanto la representación compacta como la representación explícita):



Esta ecuación ciertamente es lo más compacto que pueda haber resumiendo una gran cantidad de información en unos cuantos símbolos. Sin embargo, podemos obtener lo mismo mediante otra ecuación en la cual utilizamos el tensor de Faraday covariante de dos, la cual se encuentra con mayor frecuencia en los libros de texto:



En notación explícita la misma fórmula se escribe de la siguiente manera:



Y en notación de componentes recurriendo a la coma para representar la derivada parcial, la fórmula toma el siguiente aspecto:



PROBLEMA: A partir del tensor de Faraday, obténgase la ley de Maxwell que afirma que la divergencia vectorial de un campo magnético cualquiera es igual a cero.

Para esta demostración utilizaremos los índices espaciales del tensor de Faraday, evitando el uso del índice temporal (el índice 1). Haciendo α =2, β = 3 y γ = 4, cualquiera de las últimas tres ecuaciones que se acaban de dar arriba se traducen en lo siguiente:



Reemplazando cada uno de los valores de los componentes de acuerdo a su posición notacional en el tensor covariante de Faraday, obtenemos entonces:





o bien:



El lado izquierdo lo reconocemos de inmediato como la divergencia del vector del campo magnético B, lo cual se representa de forma más compacta con la ayuda del operador diferencial ∇ como:

∇·B = 0

Si utlizamos cualquier otra combinación de índices que excluya al índice 1, obtendremos exactamente el mismo resultado. No cuesta mucho trabajo darse cuenta de que todas las combinaciones posibles de índices 2, 3 y 4 (no repetidos en un mismo término) generan la ley de Maxwell que afirma que no hay monopolos (“cargas”) magnéticos, formando las líneas del campo magnético siempre trayectorias cerradas. Esta es pues la primera ecuación que podemos extraer de la ecuación diferencial.

PROBLEMA: Obtener la ley de Maxwell:



a partir del tensor de Faraday.

Obviamente, puesto que la coordenada del tiempo aparece en esta ecuación, tenemos que involucrar al índice 1 en la ecuación diferencial dada arriba. Una posibilidad es haciendo α =1, β = 2 y γ = 3, con lo cual tenemos lo siguiente:



Reemplazando cada uno de los valores de los componentes de acuerdo a su posición notacional en el tensor covariante de Faraday, obtenemos entonces:



Reacomodando los términos llegamos a lo siguiente:



Probando otras combinaciones de índices, todas las cuales incluyen al índice 1, podemos obtener otras dos ecuaciones:





Nuevamente, y al igual que como ocurrió arriba, las tres relaciones se pueden simplificar metiéndolas en una sola con la ayuda del operador rotacional ∇ aplicado al campo eléctrico E, obteniendo así la ecuación de Maxwell pedida.

Existe otra manera de definir la ecuación diferencial a partir de la cual podemos obtener del tensor de Faraday las últimas dos ecuaciones de Maxwell que se acaban de demostrar, y esta consiste en utilizar el tensor de Faraday contravariante F = (Fαβ) en lugar del tensor de Faraday covariante. Para ello, partiendo de la definición del símbolo ∂α, cuyas componentes en el 4-espacio son:



le subimos el índice a este símbolo con la ayuda del tensor métrico conjugado basado en la métrica del espacio-tiempo plano:



obteniendo de este modo el símbolo ∂α cuyas componentes son:



Una vez que nos hemos puesto de acuerdo en esto, la ecuación diferencial puede ser escrita de la siguiente manera:



La ventaja de esta simbolización es que podemos escribirla de inmediato con solo observar que los índices de un término al siguiente siguen un orden de permutación cíclico. La desventaja es que tenemos que ser cuidadosos al momento de reemplazar los índices generales por índices numéricos en las derivadas parciales. A modo de ejemplo, si usamos la combinación α =3, β = 1 y γ = 2, entonces la expansión de la expresión nos dá:







Esto es lo mismo que lo que ya habíamos obtenido previamente.

PROBLEMA: Obtener la doble contracción tensorial FαβFαβ. ¿Qué conclusión se puede extraer del resultado?

Si de conformidad con la convención de sumación para índices repetidos llevamos a cabo la sumación sobre α, la primera expansión de la expresión nos producirá el siguiente resultado:



Llevando a cabo ahora la segunda expansión sobre β, obtenemos lo siguiente:



Sustituyendo valores:

FαβFαβ =______________________
(0)(0) + (E1)(- E1) + (E2)(- E2) + (E3)(- E3)
+ (- E1)(E1) + (0)(0) + (B3)(B3) + (- B2)(- B2)
+ (- E2)(E2) + (- B3)(- B3) + (0)(0) + (B1)(B1)
+ (- E3)(E3) + (B2)(B2) + (- B1)(- B1) + (0)(0)


FαβFαβ =_________________
- E1² - E2² - E3² - E1² + B3² + B2²
- E2² + B3² + B1² - E3² + B2² + B1²

FαβFαβ = 2(B1² + B2² + B3²) - 2(E1² + E2² + E3²)

FαβFαβ = 2(B² - E²)

Puesto que tanto B² como E² son escalares, se concluye que la cantidad FαβFαβ es un escalar invariante de Lorentz.

PROBLEMA: Si aplicamos una rotación de Lorentz en el 4-espacio a un tensor de Faraday F suponiendo que el movimiento entre los dos marcos de referencia está limitado a un movimiento relativo a lo largo del eje-x común, las componentes (espaciales) del campo eléctrico E y el campo magnético B entre ambos marcos de referencia están relacionadas de la siguiente manera (la derivación de las relaciones fue llevada a cabo en la entrada titulada “Gimnasia de índices”):

E1 = E1___E2 = γ(E2 - βB3)___E3 = γ(E3 + βB2)

B1 = B1___B2 = γ(B2 + βE3)___B3 = γ(B3 - βE2)

Usando estas relaciones, demostrar que el producto E·B es una invariante Lorentziana.

E·B = E1B1 + E2B2 + E3B3

E·B = (E1)(B1) + [γ(E2 - βB3)][γ(B2 + βE3)] + [γ(E3 + βB2)][γ(B3 - βE2)]

E·B = E1B1 + γ²(E2 - βB3)(B2 + βE3) + γ²(E3 + βB2)(B3 - βE2)

E·B = E1B1 + γ²(E2B2 + βE2E3 - βB2B3 - β²E3B3)
+ γ²(E3B3 - βE2E3 + βB2B3 - β²E2B2)

E·B = E1B1 + γ²(1 - β²)E2B2 + γ²(1 - β²)E3B3

E·B = E1B1 + E2B2 + E3B3

E·B = E·B

De este resultado se puede sacar una conclusión importante. Siendo el producto E·B una invariante de Lorentz, si el campo eléctrico E es perpendicular al campo magnético B en un marco de referencia S, entonces ambos seguirán siendo perpendiculares en cualquier marco de referencia S’.

PROBLEMA: Descomponiendo vectorialmente los campos E y B en sus componentes paralelas y perpendiculares al eje del movimiento relativo entre los marcos de referencia, demostrar que el campo eléctrico y el campo magnético no pueden tener una existencia independiente el uno del otro.

Si descomponemos los campos E y B en sus componentes paralelas y perpendiculares al eje del movimiento relativo entre los marcos de referencia S y S’, entonces podemos escribir lo siguiente (se recurrirá aquí a la comilla en lugar de la barra horizontal superior para denotar los vectores en el marco de referencia S’ con el fin de que no se pueda confundir la barra horizontal superior con la flecha puesta también encima para simbolizar la naturaleza vectorial de cada campo):



Inspeccionando las relaciones puestas al principio del problema anterior, podemos generalizarlas para escribir las siguientes relaciones vectoriales válidas para el campo eléctrico:



Para el campo magnético también obtenemos relaciones similares, las cuales difieren de las del campo eléctrico mediante un simple intercambio de un signo dentro del paréntesis además del intercambio de las literales E y B:



Estos resultados nos indican que el campo eléctrico y el campo magnético no pueden tener una existencia independiente el uno del otro. Un campo eléctrico puro E (sin la presencia de campo magnético alguno) en el sistema de referencia S se transforma en campos eléctrico y magnético en el sistema de referencia S’. Pero no existe velocidad alguna menor que la velocidad de la luz que permita la existencia de un campo magnético puro B en el sistema de referencia S’. En pocas palabras, si existe un marco de referencia Lorentziano en el cual el campo sea completamente eléctrico, es imposible encontrar otro marco de referencia Lorentziano en el cual el campo sea completamente magnético. De este modo, así como el espacio y el tiempo han dejado de tener una existencia independiente el uno del otro (matemáticamente hablando) y han sido unificados en un 4-vector como un solo concepto, el del espacio-tiempo, del mismo modo el campo eléctrico y el campo magnético tampoco tienen una existencia independiente el uno del otro, habiendo sido unificados bajo el tensor de Faraday. Esta es a fin de cuentas la razón de ser del tensor de Faraday, el llevar a cabo a su máximo la unificación de las leyes del electromagnetismo.

Sumando vectorialmente las componentes paralelas y perpendiculares de cada campo y simplificando, podemos demostrar que la transformación general de los campos eléctrico y magnético está dada por las siguientes relaciones:



Nuevamente, estas relaciones demuestran que E y B no tienen existencia independiente. Un campo puramente eléctrico o puramente magnético en un sistema de referencia aparecerá como una mezcla de ambos en cualquier otro sistema de referencia. De este modo, en vez de hablar separadamente del campo eléctrico E y del campo magnético B, más apropiadamente uno debe de hablar del campo electromagnético Fαβ.

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