miércoles, 18 de marzo de 2009

El tensor energía-tensión

En la ecuación tensorial fundamental de la Relatividad General, el tensor T que aparece en el lado derecho de dicha ecuación:

G = 8πGT

conocido como el tensor energía-tensión, el tensor energía-impulso y también como tensor energía-momentum, es la extensión del concepto básico del 4-vector energía-momentum utilizado en el espacio-tiempo plano de cuatro dimensiones de la Teoría Especial de la Relatividad, generalizado hacia un espacio-tiempo curvo.

Antes de intentar dar un significado físico al tensor T cuatri-dimensional de la Relatividad General, empezaremos por dar una interpretación a un tensor en un espacio ordinario de tres dimensiones utilizado en los estudios de la teoría de la elasticidad, del cual parte precisamente el origen de la palabra tensión interpretada en el sentido usual de la mecánica clásica.

Imaginemos por un momento que tenemos en nuestras manos un bloque cúbico hecho de hule, al cual le ponemos encima en su cara superior la palma de nuestra mano mientras que la cara inferior la dejamos reposar en contacto sobre la superficie de una mesa de madera con la cual haya suficiente fricción para que el bloque de hule permanezca en la misma posición al irse deformando conforme empezamos a aplicar una fuerza superficial lateral en la cara superior del bloque a la cual llamaremos σ, produciendo una tensión mecánica sobre la superficie del mismo capaz de deformar ligeramente al bloque en el sentido en el cual aplicamos la tensión. Conociendo el coeficiente de elasticidad del hule, podemos calcular sin problema alguno el grado de deformación del bloque de hule suponiendo que la cara inferior que está en contacto con la mesa permanece inmóvil.

Si la cara superior del bloque de hule la identificamos con un sistema de coordenadas Cartesianas situando simétricamente una esquina de la cara superior del bloque de hule en el origen de dichas coordenadas, entonces podemos aplicarle la tensión en una dirección que coincida con el eje-x. Del mismo modo, podemos aplicarle la tensión en una dirección que coinicida con el eje-y. Pero si le aplicamos la tensión en una dirección que no coincida ni con el eje-x ni con el eje-z, entonces la tensión estará caracterizada por cuatro componentes posibles: σxx, σxy, σyx, y σzz. Estos cuatro componentes pueden ser agrupados dentro de un solo símbolo que representa a los cuatro, un tensor covariante (o contravariante) de orden dos en un espacio de dos dimensiones, al cual por comodidad llamaremos σ.

La situación se complica si además de aplicar una tensión mecánica a la cara superior del bloque de hule le aplicamos también una tensión mecánica hacia abajo, en la dirección de un tercer eje-z. En tal caso, tenemos una distribución más elaborada de tensiones como nos lo muestra la siguiente figura:





En este caso, tenemos un total de nueve componentes, los cuales también pueden ser agrupados dentro de un solo símbolo que representa a los nueve componentes, un tensor covariante (o contravariante) de orden dos en un espacio de tres dimensiones.

Si lo que estamos describiendo es un mismo y único fenómeno físico, entonces la deformación del bloque de hule que tenemos arriba debe ser exactamente la misma si imprimimos una rotación al sistema de coordenadas con el que estamos describiendo los componentes. Naturalmente, al girar el sistema de coordenadas, las componentes individuales van a cambiar, y si tenemos expresiones matemáticas en función de dichos componentes, también van a cambiar. Pero el símbolo σ bajo el cual agrupamos a dichos componentes sigue siendo el mismo. De este modo, si en coordenadas generalizadas -usando notación (x1, x2, x3)- tenemos la siguiente situación:





entonces tras imprimir una rotación al sistema de coordenadas tendremos algo como lo siguiente:





Ahora bien, puesto que el sistema de coordenadas indicado -coordenadas Cartesianas- es un sistema de coordenadas arbitrario, lo podemos reemplazar por otro siempre y cuando el fenómeno físico que está siendo descrito no cambie al cambiar el sistema de coordenadas. Naturalmente, para ciertos problemas habrá un sistema de coordenadas cuyo uso será mil veces preferible a los demás sistemas de coordenadas que podamos utilizar en virtud de la simplificación que podamos obtener en nuestros cálculos matemáticos bajo cierto sistema. De cualquier manera, lo que no cambiará notacionalmente en lo absoluto es el símbolo del tensor T bajo el cual se agrupan los componentes. Un cierto tensor T podrá ser descompuesto en los componentes propios de un sistema de coordenadas rectangulares o en los componentes propios de un sistema de coordenadas esféricas, pero el tensor en sí no cambia en nada.

Ahora veremos más a fondo lo que nos representa el tensor energía-tensión que aparece en la Relatividad General. En coordenadas generalizadas, las componentes de dicho tensor de orden dos para el cual utilizaremos aquí notación contravariante se acostumbran exhibir mediante una matriz como la siguiente:



Aunque un cuádruplo de coordenadas generalizadas lo podemos representar de la siguiente manera con los índices empezando desde uno:

(x1, x2, x3, x4)

en muchos textos se acostumbra comenzar la simbolización numérica indexal desde cero:

(x0, x1, x2, x3)

extendiéndose dicha representación al mismo tensor energía-tensión de modo tal que tenemos un componente como T00. Esto no debe representar problema alguno, y el contexto del trabajo científico o del libro de texto consultado debe ser suficiente para dejar en claro cuál es la convención seguida.

Antes de continuar, es importante dejar una cosa en claro:

El tensor de Einstein (simbolizado como G) y el tensor métrico g son dos cosas completamente distintas que no deben ser confundidas en ningún momento y bajo ninguna circunstancia.

Es hasta cierto punto desafortunado el que para poder representar a la matriz que agrupa a los componentes del tensor métrico g se acostumbre usar con cierta frecuencia la misma letra G que la que usamos para representar al tensor de curvatura de Einstein; y más desafortunado aún el que la misma letra se utilice para representar a la constante G de la gravitación universal. Para evitar ambigüedades, podríamos inventar nuevos símbolos, pero esto simplemente reemplazaría una confusión con otra al requerir el aprendizaje de símbolos venidos de otros alfabetos, razón por la cual nos apegaremos aquí al uso de los símbolos más tradicionales.

Una característica fundamental que tomamos como dada es que los componentes del tensor energía-tensión T son simétricos, o sea T = (Tij) = (Tji) al igual que los componentes del tensor de curvatura de Einstein G que está al otro lado de la ecuación deben serlo consecuentemente. Si se desea, se puede llevar a cabo un interesante ejercicio matemático suponiendo que ni el tensor G (y por lo tanto tampoco el tensor T) son simétricos, pero esto complica enormemente las cosas y no resulta claro que una suposición así podría llevarnos a ninguna conclusión útil, de modo que nos aferraremos a la suposición esencial de la simetría en estos tensores a lo largo de esta obra.

A primera vista, para quienes están acostumbrados a pensar en términos de la física clásica, deberá parecerles extraño que para poder describir a la densidad de la energía y el momentum vistos desde marcos de referencia distintos se requiera de un tensor de orden dos sin ser suficientes los vectores N-dimensionales, pero el tensor de orden dos resulta ser indispensable. Para describir la energía y el momentum relativistas de una sola partícula ciertamente nos basta un 4-vector. Pero para poder describir un gas de partículas, o para poder describir campos (como el campo electromagnético) necesitamos de un tensor de orden dos que nos pueda combinar la densidad de la energía (energía por unidad de volumen), el flujo de energía (o la densidad del momentum que en realidad vienen siendo lo mismo) y el flujo de momentum, algo que excede las capacidades de un simple vector.

Considérese una caja en reposo de dimensiones Δx, Δy y Δz de volumen V = ΔxΔyΔz que encierra un total de N partículas:





Por una vieja costumbre cuyo origen se desconoce a ciencia cierta, dentro de la Relatividad General a esta colección de partículas flotando en estado de reposo dentro de la caja se ha dado por llamarle polvo, aunque en realidad esta designación tiene poco que ver con eso que se acumula en los muebles. La densidad de partículas en dicha caja, el número de partículas por unidad de volumen que llamaremos n, será N/V. Ahora bien, la energía en reposo de cada partícula, de acuerdo con la Teoría Especial de la Relatividad, será m0c². Habiendo un total de N partículas en la caja, la energía total contenida en dicha caja será Nm0c². La densidad de energía en dicha caja que llamaremos ρ será igual a la energía total dividida entre el volumen de la caja:

ρ = Nm0c²/V = nm0

Pongamos ahora a la caja en movimiento a lo largo de la dirección del eje-x con una velocidad V. Por los efectos de la contracción relativista de longitud:





Δx se reducirá a Δx' por un factor de √1 - V²/c², entanto que las longitudes perpendiculares a la dirección del movimiento permanecerán iguales. Esto significa que el número de partículas por unidad de volumen ahora será:

n/√1 - V²/c²

Pero la densidad de partículas no es lo único que cambia al ponerse la caja en movimiento. La energía en reposo de cada partícula aumenta en un factor de 1/√1 - V²/c². Consecuentemente, la densidad de energía de la caja para un observador que ve a la caja en movimiento aumenta no en un factor de 1/√1 - V²/c² sino en dos factores de dicha cantidad, resultando en un factor combinado de aumento:



Siendo el factor de aumento en la densidad de energía no 1/√1 - V²/c² sino:

1/(1 - V²/c²)

podemos ver que nos será imposible representar a la densidad de energía simplemente como un vector (un tensor de orden uno) como lo habíamos estado haciendo al estar haciendo cambios de un marco de referencia a otro. De hecho la densidad de energía resulta ser el principal componente de un tensor de orden dos, precisamente el tensor energía-tensión.

En términos algo crudos, podemos visualizar al tensor energía-tensión como algo que nos describe el flujo de la energía-momentum en el espacio-tiempo ya sea plano o curvo. Es importante aclarar aquí otro punto de confusión considerable entre los principiantes: la energía-tensión T (un tensor de orden dos) y la energía-momentum (un vector, el cual a su vez es un tensor de orden uno) son dos cosas completamente diferentes. La energía-tensión es un objeto de orden mayor (un tensor de orden dos) construído conceptualmente a partir del vector energía-momentum (un tensor de orden uno).

Existen varias interpretaciones matemáticas que se le pueden dar al tensor energía-tensión. Una de ellas nos dice que el tensor energía-tensión es algo que llamamos un mapa bi-linear de una representación vectorial de un elemento de 4-volumen a la representación vectorial del 4-vector energía-momentum contenido dentro de dicho elemento de 4-volumen. Otra de ellas radica en un álgebra conocida como álgebra Clifford (conocida también como álgebra geométrica) desarrollada por William K. Clifford que nos demuestra que la forma correcta de representar a un volumen es como un vector, aunque esto tal vez parezca extraño a quienes están acostumbrados a pensar que algo que se mide en litros o en metros cúbicos se le pueda asignar una dirección. Pero esto no debe parecernos tan extraño si recordamos que al hablar acerca del flujo de un campo de vectores (campo vectorial) a través de una superficie también nos ha sido posible representar a una porción de superficie dA como un vector ndA mediante un vector normal (perpendicular) n trazado en cada punto de dicha superficie. Esto no es lo único extraño de las álgebras Clifford. Otra característica de tales álgebras es que en ellas es posible sumar cantidades escalares (las cuales no tienen dirección ni sentido) a cantidades vectoriales, de modo tal que no es inusual encontrar en dichas álgebras operaciones tales como:

C = e + V

en donde e es un escalar y V es un vector. Hay quienes encuentran esto demasiado incómodo y comparan la suma de escalares y vectores como el llevar a cabo una suma de manzanas y naranjas pese a que esto ocurre todo el tiempo cuando preparamos una ensalada de frutas. Las álgebras Clifford eventualmente nos llevan a lo que llamamos el cálculo exterior en el cual encontramos definido el producto cuña Λ (wedge product) que entre sus características tiene la propiedad de que la “suma” de dos vectores no es conmutativa porque el orden en el cual se toma la suma (simbolizada como uΛv) nos dá el sentido de la rotación que podemos asignar a dicha operación:



La ruta de análisis basada en las álgebras Clifford en la que hablamos de vectores, bivectores y trivectores es precisamente la ruta de ataque que siguen Charles Misner, Kip Thorne y John Archibald Wheeler en su venerable y voluminoso libro Gravitation, pero seguir esta ruta nos sacaría fuera del ámbito del cálculo tensorial en el que hemos estado trabajando, razón por la cual omitiremos adentrarnos en este tema. Las álgebras Clifford y el cálculo exterior son útiles para darnos un poco más de comprensión en el tema que estamos tratando, pero no son absolutamente indispensables. Einstein pudo obtener y desarrollar sus ecuaciones de campo manteniéndose por completo dentro del ámbito del cálculo tensorial, y aquí podemos hacer lo mismo.

Lo primero que haremos será “construír” un tensor de curvatura de Einstein G. Podemos hacerlo recurriendo a las coordenadas Cartesianas rectangulares que utilizamos en la Teoría Especial de la Relatividad para denotar las coordenadas de un objeto en un marco de referencia 4-dimensional:

(ct, x, y, z)

Pero siendo los tensores objetos matemáticos que permanecen invariantes al pasar de un sistema de coordenadas a otro, podemos darnos el lujo de unir la coordenada temporal con el sistema de coordenadas esféricas para así especificar los cuatro componentes de un 4-espacio de la manera siguiente:

(t, r, θ, φ)

A continuación, acomodaremos estos cuatro componentes en un renglón a un lado de los mismos cuatro componentes acomodados formando una columna, como si fuésemos a construír una tabla con ambos:



Con este “esqueleto” procedemos a escribir adentro del espacio vacío uno a uno los componentes del tensor de curvatura de Einstein. Podemos escribirlos como los componentes de un tensor covariante de orden dos, los componentes de un tensor mixto, o los componentes de un tensor contravariante de orden dos, todo es cuestión de gustos que al fin y al cabo podemos “subir” y “bajar” los índices a nuestro antojo con la ayuda del tensor métrico g. Lo haremos aquí representándolos como los componentes contravariantes de un tensor de orden dos:





Esto automáticamente nos fija la manera en la cual tenemos que escribir los componentes del tensor energía-tensión T, también como componentes de un tensor contravariante de orden dos, dada la igualdad tensorial:

G = 8πGT

que nos lleva a:





Como podemos ver, la representación matricial de los componentes del tensor energía-tensión T no parece darnos mucha información sobre la naturaleza de los mismos. La interpretación de su significado físico se antoja un reto. Pero ello se debe a que no hemos considerado al 4-vector energía-momentum como el verdadero punto de partida para obtener una interpretación física. Recordemos cómo el 4-vector energía-momentum:

(E/c, p) = (E/c, p1, p2, p3)

en cierta forma deriva del 4-vector de coordenadas del espacio-tiempo Lorentziano al obtener primero de éste el 4-vector velocidad y posteriormente el 4-momentum con la inclusión de la masa en reposo m0. Podemos establecer una correspondencia entre la representación matricial dada arriba para T y una “tabla” que consta de cuatro renglones y cuatro columnas en la cual acomodamos como tabulador horizontal a los componentes del 4-vector posición y en la cual acomodamos como tabulador vertical a los componentes del 4-vector energía-momentum:





Para los componentes del tensor energía-tensión T cuyo significado físico se dará a continuación, se acostumbra utilizar como guía la siguiente definición general:

Tab = _____________________________________
flujo de momentum a atravesando una superficie de b constante


Y al hablar aquí del momentum estamos hablando de 4-momentum.

Es importante tener presente que en el 4-espacio de la Teoría de la Relatividad tenemos no tres sino cuatro superficies que en un sistema de coordenadas Cartesianas (rectangulares) podemos identificar de la siguiente manera: (1) una superficie de t = constante (la que corresponde a la coordenada “cero” o la coordenada temporal), (2) una superficie de x = constante, (3) una superficie de y = constante, (4) una superficie de z = constante. Al hablar acerca de un flujo de energía-momentum a través de una superficie como la superficie x en realidad estamos hablando acerca de un flujo a través de todas las superficies de x = constante. A continuación tenemos una representación esquemática de un flujo de energía-momentum a través de tres de los cuatro tipos de superficie:



En sentido vertical, de abajo hacia arriba, tenemos un flujo de energía-momentum a través de varias superficies de t = constante (la primera superficie podría representar un tiempo de 1 segundo, la segunda superficie podría representar un tiempo de 2 segundos, y así sucesivamente). No es necesario que algo se esté moviendo de un lado a otro para que ocurra este flujo, puesto que basta con que una partícula u objeto esté en reposo absoluto para que el reloj que marca el tiempo siga avanzando. La partícula “avanza” en el tiempo. Pero en el sentido del eje-x, la partícula u objeto ciertamente está cambiando de posición continuamente, pasando de una hipersuperficie plana x a otra. Aquí si hay “movimiento”, aquí si hay un “flujo” observable con nuestros sentidos. Lo mismo se puede decir acerca de un flujo que ocurre a lo largo del eje-y atravesando los planos de y = constante. Y lo mismo puede decirse acerca de un flujo que ocurre a lo largo del eje-z atravesando los planos de z = constante, aunque no haya sido posible ya representarlo dentro de la figura de arriba.

El primer componente que identificaremos dentro del tensor energía-tensión T arreglado con sus componentes identificadores en forma de “tabla” -en los cuales hemos puesto en el tabulador horizontal a los componentes del 4-vector posición y en la cual hemos puesto en el tabulador vertical a los componentes del 4-vector energía-momentum- es el que está situado en la esquina superior izquierda, de color amarillo, identificado como el componente T00 en muchos libros de texto. Este es un componente extremadamente importante del tensor energía-tensión T. Este componente puede leerse directamente como el 0-momentum (masa relativista, que es a su vez energía) de un fluído que está fluyendo no en alguna dirección en particular sino fluyendo en el 0-espacio (el tiempo) como ocurre con un observador que está en reposo en un diagrama espacio-tiempo de Minkowski. Este, por lo tanto y sin lugar a dudas, es el componente que nos suministra la densidad de la masa relativista (el equivalente energético de la masa dividido entre el cuadrado de la velocidad de la luz en conformidad con la relación E = mc²) simbolizada como ρ, y en un marco de referencia estático nos representa la cantidad total de masa-energía sumada al combinado total de todos los demás tipos de energía (electromagnética, calorífica, energía de rotación, etc.).

Si todo lo que tenemos en el marco de referencia para el cual se está especificando el tensor energía-tensión T es un cuerpo o una colección de partículas (polvo) en absoluto reposo, entonces el componente T00 será la única entrada en el tensor; todos los demás componentes serán iguales a cero. Sin embargo, si ponemos dicho cuerpo o dicha colección de partículas en movimiento en cierta dirección, entonces habrá una transferencia o flujo de masa-energía de un lugar a otro. Pero es importante tener en cuenta que dicho “movimiento” no se llevará a cabo simplemente a una velocidad ordinaria V en tres dimensiones, sino que se llevará a cabo a una 4-velocidad relativista que el tensor energía-tensión de orden dos debe estar preparado para manejar. Esto nos lleva al verdadero punto de origen del tensor energía-tensión T. Del mismo modo en que el 4-momentum P unifica los conceptos clásicamente dispares de la energía y el momentum por medio del 4-vector velocidad U:

P = m0U

no debe sorprendernos que el equivalente requerido para la Relatividad General se base en la extensión directa de este concepto generalizándolo con el producto tensorial directo del 4-vector velocidad U consigo mismo, reemplazándose a la masa en reposo (que es también el equivalente a una energía en reposo en base a la relación E = m0c²) con la densidad de la masa del conjunto de partículas “flotantes” que constituyen el “polvo”:

T = ρ U U

Es recomendable tomarse un poco de tiempo para comparar ambas expresiones antes de seguir adelante.

En un sistema arbitrario de coordenadas xμ en el cual la 4-velocidad del polvo es U = (Uμ), una vez identificada la densidad de energía (energía por unidad de volumen) del polvo como ρ entonces todas las componentes contravariantes posibles del tensor T estarán dadas en notación de componentes por:

Tμν = ρ Uμ Uν

Es momento de recordar la definición básica de la 4-velocidad, la cual es:

U = (U0, U1, U2, U3) = (γc, γv1, γv2, γv3)

Con esta definición, podemos escribir la definición dimensionalmente correcta del componente T00:

T00 = ρ U0U0 = ρ (γc)(γc) = γ²c²ρ

Dimensionalmente hablando, esta relación explica el por qué dividiendoT00 entre c² nos proporciona una densidad de masa (el factor gamma es adimensional).

Habiendo identificado el significado físico de T00, ahora para mayor comprensión haremos aquí un cambio de coordenadas y utilizaremos las coordenadas Cartesianas rectangulares en lugar de las coordenadas esféricas con las que comenzamos arriba, con lo cual los componentes del tensor energía-tensión T que vamos a identificar quedan destacados de la siguiente manera:





Esto significa que haremos:

(E/c, p) = (E/c, p1, p2, p3) = (E/c, px, py, pz)

Hecho este ligero cambio y en base a la definición general que se ha dado arriba procederemos a identificar a los componentes T0j, para j ≠ 0, los cuales son:

T0j = ρ U0U j = ρ (γc)(γvj) = γ²cρv j

Dimensionalmente hablando, esto nos dice que T0j es el flujo de masa relativista (energía) en la dirección hacia la cual apunta la velocidad v j. Es así que tenemos a T01 (de color ciano) como el flujo de masa (energía) a través de la superficie 1 (la superficie perpendicular al eje-x). Obsérvese que al no ser ambos índices del tensor energía-tensión iguales a la componente temporal como ocurre con T00 = Ttt, queda liberado uno de los índices para poner las cosas en movimiento, la situación que antes era estática se vuelve dinámica. Pero en coordenadas Cartesianas tenemos otras dos coordenadas, de modo tal que podemos identificar al siguiente componente (también de color ciano), el componente T02, como el flujo de masa (energía) a través de la superficie 2, (la superficie perpendicular al eje-y), y podemos identificar al siguiente componente (también de color ciano), el componente T03 como el flujo de masa (energía) a través de la superficie 3 (la superficie perpendicular al eje-z).

¿Cambiarían en algo estas últimas definiciones si en lugar de coordenadas Cartesianas hubiéramos utilizado coordenadas esféricas? En nada, ya que en coordenadas esféricas si especificamos algo como la fijación de uno de los ángulos a un valor determinado estamos anclando una coordenada angular dejando libres las otras dos coordenadas (la coordenada radial y la otra coordenada angular), justo lo que necesitamos para definir una superficie en coordenadas curvilíneas, de modo tal que aquí también tendríamos un flujo de masa (energía) a través de una 2-superficie:





En general, si utilizamos coordenadas generalizadas, podemos identificar a T0i como el flujo de masa (energía) a través de la superficie xi (la cual puede ser x1, x2 o x3).

Por último, tenemos que para i ≠ 0 y j ≠0:

Tij = ρUiU j = ρ (γvi)(γvj) = γ²ρvivj

Esto lo podemos interpretar como el i-momentum fluyendo en la j-dirección por unidad de área por unidad de tiempo atravesando la superficie de j = constante.

PROBLEMA: Demostrar que los componentes

Tij = ρUiU j = ρ (γvi)(γvj) = γ²ρvivj

para i ≠ 0 y j ≠0 del tensor energía-tensión T se pueden interpretar como un flujo de i-momentum fluyendo por unidad de área por unidad de tiempo a través de una superficie-j.

Los pasos para llegar a esta interpretación se detallan a continuación:



En el primer paso, simplemente multiplicamos y dividimos por un elemento infinitesimal de tiempo dt y un elemento infinitesimal de la superficie dAj que está siendo atravesada por la masa (energía) en movimiento. En el segundo paso, el producto de vj y dt nos dá la distancia infinitesimal recorrida en ese tiempo dt por la masa en movimiento, distancia que multiplicada por dAj nos dá el elemento infinitesimal de volumen dV:





La densidad de masa ρ la podemos tomar como un elemento infinitesimal de masa propia dm0 dividida entre un elemento infinitesimal de volumen dV. En el tercer paso, agrupamos bajo un mismo paréntesis al elemento infinitesimal de masa propia dm0 y a la velocidad vj formando de este modo el elemento infinitesimal de momentum dPi. Lo que tenemos a fin de cuentas es un flujo de i-momentum fluyendo a través de la superficie-j.

De este modo, podemos identificar al primer componente diagonal de color café ubicado en T11 como el 1-momentum fluyendo en la 1-dirección por unidad de área por unidad de tiempo. El flujo de momentum por unidad de tiempo equivale clásicamente a una fuerza F = d(mv)/dt que está siendo ejercida por dicho momentum sobre la hipersuperficie 1 = constante. Y siendo ésta una fuerza por unidad de área, lo cual es ni más ni menos que la presión ejercida por el “polvo”, se trata precisamente de la presión que está ejerciendo el polvo sobre una superficie perpendicular a la dirección 1 a lo largo de la cual está fluyendo el polvo (que en este caso tomamos como el eje-x):





Del mismo modo, identificamos al segundo componente diagonal de color café ubicado en T22 como el 2-momentum fluyendo en la 2-dirección por unidad de tiempo por unidad de área, lo cual podemos interpretar también como la presión que ejerce el polvo sobre una superficie perpendicular a la dirección 2 a lo largo de la cual está fluyendo el polvo (que en este caso podemos tomar como la superficie perpendicular al eje-y). Y finalmente, identificamos al tercer componente diagonal de color café ubicado en T33 como el 3-momentum fluyendo en la 3-dirección, lo cual podemos interpretar también como la presión que ejerce el polvo sobre una superficie perpendicular a la dirección 3 a lo largo de la cual está fluyendo el polvo (que en este caso podemos tomar como la superficie perpendicular al eje-z).

Veamos ahora los componentes del tensor energía-tensión T = (Tij) que corresponden a los bloques de color verde, los componentes “cruzados”. Un término como T12 vendría siendo la transferencia de 1-momentum en la 2-dirección. ¿Pero cómo puede ser esto posible? se preguntarán quizá algunos. ¿Cómo es posible que algo que está fluyendo única y exclusivamente en la dirección del eje-x transfiera algún efecto a una coordenada que le es perpendicular? Una transferencia de este tipo de una coordenada a otra sólo puede llevarse a cabo a través de algún tipo de fricción o de viscosidad en el fluído, precisamente el tipo de fenómeno que dió origen a la creación del concepto matemático del tensor. De allí provienen precisamente las designaciones para los componentes como σxy y σyz del tensor que nos describe las tensiones mecánicas en el bloque de hule descrito arriba. De no ser por este tipo de transferencias “cruzadas” de una coordenada a otra, no necesitaríamos de los tensores.

En cuanto a los componentes del tensor energía-tensión T = (Tij) con j = 0 que corresponden a los bloques de color rojo, el componente T10 es identificado como el flujo de 1-momentum a través de una superficie de t = constante, lo cual viene siendo la densidad del momentum a lo largo de la dirección 1. Obsérvese que hay una diferencia muy sutil en la interpretación física que se ha dado arriba para T01 (el flujo de la componente de masa-energía del 4-vector energía-momentum a través de la superficie 1) y la definición que se está dando aquí para T10. Esto, desde luego, puede causar consternación después de haberse afirmado que el tensor energía-tensión es simétrico, lo cual implica necesariamente que T01 = T10. ¿Seguimos hablando de lo mismo o estamos hablando de dos cosas diferentes? En las aplicaciones prácticas que se han dado hasta la fecha del tensor energía-tensión T, no se han encontrado aún circunstancias en las cuales Tij ≠ Tji para i ≠ j ni se han concebido ejemplos en los cuales ocurra tal anomalía. Sin embargo, esto podría muy bien cambiar con el advenimiento de una Teoría Cuántica de la Gravedad, y tendría la repercusión inmediata de que los componentes del tensor de Einstein G tampoco serían simétricos. De hecho, hay miembros respetables de la comunidad científica que han estado investigando activamente esta posibilidad, aunque aún no nos es posible “ver” claramente cómo ensamblar las piezas de este rompecabezas que eludió al mismo Einstein.

Además del término de polvo que usamos arriba para describir a una colección de partículas en reposo, en la Relatividad General manejamos también el término de fluído como “algo que fluye” sin impedimento mecánico alguno, sin fuerzas de fricción internas entre sus sub-elementos adyacentes de volumen que obstaculicen el movimiento del fluído en general. Específicamente, estamos hablando de un fluído perfecto, aquél en el cual no hay rozamientos o viscosidades o fricciones internas ni transferencias de calor, aquél para el cual todos los términos espaciales Tij del tensor energía-tensión T en que i ≠ j son iguales a cero. El fluído perfecto es la generalización del concepto del gas ideal usado en la termodinámica.

Para un fluído perfecto, si no hay transferencias de calor, en el marco de referencia comóvil (el marco de referencia en el cual el fluído está instantáneamente en reposo) los componentes T0i =
Ti0 del tensor energía-tensión T tendrán un valor de cero, ya que la energía puede fluír de un lado a otro únicamente si las partículas pueden fluír también. Y en lo que respecta a la ausencia de viscosidad, esto significa que las fuerzas deben ser siempre perpendiculares a la superficie, lo cual implica que todos los términos espaciales Tij del tensor energía-tensión T en que i ≠ j deben ser iguales a cero, lo cual implica a la vez que T en su representación matricial debe ser una matriz diagonal. Y puesto que la ausencia de viscosidad es algo que debe ser independiente de los ejes espaciales de las coordenadas, la matriz debe seguir siendo diagonal para todos los marcos de referencia comóviles del fluído. La única matriz que puede permanecer diagonal en todos los marcos de referencia debe ser un múltiplo de la matriz identidad, y por lo tanto todos sus términos diagonales deben ser iguales. La superficie-x sólo tendrá sobre ella una fuerza que viene del eje-x, y lo mismo se puede decir para las otras dos superficies. Estas fuerzas por unidad de área que deben ser todas iguales en un fluído perfecto es lo que llamamos la presión. De este modo, tenemos que para las componentes espaciales del tensor T se debe tener Tij = pδij en donde p es la presión y δij es el tensor delta Kronecker.

Y así, de acuerdo con lo que hemos visto, un fluído perfecto (visto desde un marco de referencia en reposo, sin fricción alguna, bajo una métrica Lorentziana) tendrá el siguiente tensor energía-tensión (se ha dado aquí a la velocidad de la luz cuyo cuadrado divide a las componentes p el valor de uno con el fin de simplificar la escritura de la matriz):




en donde ρ es la densidad de masa (energía) del fluído (el componente T00 en este caso) en kilogramos por metro cúbico y p es la presión ejercida por el fluído en la dirección especificada (los componentes T11, T22 y T33) en newtons por metro cuadrado. No es difícil verificar que si el fluído está en movimiento a una 4-velocidad U = (Uμ) en donde Uμ = dxμ/dτ con respecto a otro marco de referencia, los componentes del tensor energía-tensión se pueden escribir tensorialmente en notación de componentes de la siguiente manera:

Tab = (ρ + p/c²) UaUb + p gab

siendo g = (gab) el tensor métrico del espacio-tiempo que estamos considerando como Lorentziano bajo la métrica:

g00 = - c²____g11 = g22 = g33 = 1

gij = 0____para i ≠ j

A modo de ejemplo, en un marco de referencia comóvil, el único componente de la 4-velocidad que no es cero es el componente temporal, con lo cual U0U0 = (1)(1) = 1 y para a= b= 0 tenemos:

T00 = (ρ + p/c²) U0U0 + p g00 = ρ

En notación tensorial más compacta, la fórmula se puede escribir de la siguiente manera:

T = (ρ + p/c²) UU + g-1

Un fluído con términos de viscosidad o elementos anómalos agregaría términos “cruzados” a la fórmula, lo cual no es deseable a menos de que haya una buena razón para ello.

Hemos escogido representar aquí a los componentes del tensor energía-tensión T como los componentes de un tensor contravariante de orden dos, pero igualmente podríamos haber escogido una representación covariante T = (Tab) para los mismos, estamos en completa libertad de hacerlo siempre y cuando en las operaciones tensoriales acomodemos los índices de modo tal que las operaciones tensoriales (tales como la contracción ocasionada por los índices repetidos de acuerdo a la convención de sumación y la derivada covariante de algún tensor o tensores) se sigan llevando a cabo como se deben llevar a cabo. Así, lo que aquí menos llamado T00 en otros libros y publicaciones será llamado T00 o inclusive T11 si se escoge numerar los índices de las coordenadas generalizadas a partir de uno en lugar de a partir de cero, porque en la Teoría de la Relatividad todo es relativo, inclusive ésto.

PROBLEMA: ¿Cuál será la representación del tensor relativista energía-tensión a escala astronómica para un fluído no relativista como una nebulosa o una estrella de secuencia principal?

En un fluido no relativista como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal, todos los componentes del tensor de energía-tensión son nulos o de muy poca importancia, salvo el elemento T00 que corresponde a la densidad de masa-energía y que es el único que contribuye sensiblemente a la atracción gravitatoria y a la curvatura del espacio-tiempo. Naturalmente, si queremos medir la contracción de volumen producida por la masa-energía presente en una determinada región, tenemos que aplicar las ecuaciones de campo dadas por la fórmula tensorial fundamental de la Relatividad General.

PROBLEMA: Demuéstrese que si el tensor energía-tensión T representa la energía-momentum de un fluído perfecto, entonces dicho tensor puede ser utilizado para expresar la ley de la conservación de la energía y el momentum. (No es necesario recurrir a la derivada covariante para resolver este problema).

Considérese el siguiente corte seccional de un elemento cúbico de lados L del fluído a lo largo del plano-z (estamos considerando únicamente a los componentes espaciales del tensor):





Supondremos que el flujo de energía se puede llevar a cabo a través de cualquiera de los lados del cubo. Tómese por ejemplo la cara d del cubo, de color azul. La razón del flujo de energía a través del área L² dicha cara es:

T0x (en x = 0)

Del mismo modo, la razón del flujo de energía a través del área L² de la cara opuesta del cubo, la cara b, debe ser:

- L²T0x (en x = L)

Este término tiene un signo negativo puesto que representa energía fluyendo fuera del volumen del cubo, mientras que el término anterior tiene un signo positivo puesto que representa energía fluyendo hacia adentro del volumen del cubo.

El flujo neto de energía en el sentido del eje-x será igual a la suma de los dos términos anteriores, o sea:

T0x (en x = 0) - L²T0x (en x = L)

Esto a su vez debe ser igual a la contribución a lo largo del eje-x a la razón de aumento (o disminución) de energía en el interior del cubo, o sea:

∂(L3T00)/∂t

Del mismo modo, para la cara a del cubo, de color rojo, la razón del flujo de energía a través del área L² dicha cara es:

L²T0y (en y = 0)

y la razón del flujo de energía a través del área L² de la cara opuesta, la cara c, debe ser:

- L²T0y (en y = L)

Enunciados similares aplican al flujo de energía en las caras del cubo situadas en el plano-z.

Sumando todas las contribuciones de flujo de energía al interior del volumen del cubo que aumentarán (o disminuirán) la densidad de energía del cubo, tenemos:

∂(L3T00)/∂t = _____________
T0x (en x = 0) - L²T0x (en x = L)
+ L²T0y (en y = 0) - L²T0y (en y = L)
+ L²T0z (en z = 0) - L²T0z (en z = L)

A continuación, podemos dividir todo entre L3 y tomar el límite L → 0. Al hacer esto, podemos aplicar la definición de la derivada ordinaria (¡no es necesaria aquí la derivada covariante puesto que estamos trabajando en el marco de referencia comóvil!):



Con esto, la expresión se nos reduce a:



Podemos escribir esto de una manera más compacta usando la notación de la coma y pasando todo del lado izquierdo:

T00,0 + T0x,x + T0y,y + T0z,z = 0

Añlicando la convención de sumación para índices repetidos, esto se reduce a:

T0j, j = 0

Esta es precisamente la ley de la conservación de la energía.

Del mismo modo, repitiendo los mismos pasos, encontramos que el momentum también debe ser conservado. La única diferencia es que el índice 0 debe ser cambiado a cualquier coordenada espacial que corresponda al componente del momentum que debe ser conservado. La ley general para la conservación de la energía-momentum del tensor energía-tensión T debe ser por lo tanto:

Tαβ, β = 0

Esto que acabamos de derivar es válido para un espacio-tiempo plano, Lorentziano, o sea en el ámbito de la Teoría Especial de la Relatividad. Si queremos que el resultado sea válido para un espacio-tiempo curvo, o sea en el ámbito de la Relatividad General, la coma debe ser reemplazada por un semicolon, lo cual significa que la diferenciación ordinaria debe ser reemplazada por una diferenciación covariante.

PROBLEMA: Usando la relación Tαβ, β = 0, demuéstrese que para un sistema acotado en el cual T = (Tαβ) = 0 afuera de cierta región acotada de espacio:



Sobreentendiéndose que la integral es una integral triple llevada a cabo sobre un 3-volumen, usaremos a nuestro favor la simetría del tensor métrico, con lo cual T, α = Tα0, α y:


Se ha utilizado en el último paso la identidad Tαβ, β = 0 haciendo β = 0.

Algo que resulta ser de extrema utilidad al estar manejando tensorialmente asuntos que tienen que ver con la conservación de ciertos parámetros físicos es el hecho de que el teorema de Gauss, extendido al 4-espacio relativista, nos permite convertir leyes diferenciales (que involucran derivadas) de conservación en leyes integrales de conservación. Con el fin de dejar esto aclarado, utilizaremos como referencia el 4-vector posición relativista definido de la siguiente manera (con los índices corriendo de 1 a 4 en vez de correr de 0 a 3):

(x1, x2, x3, x4) = (ct, x, y, z)

y desarrollaremos unos resultados trabajando primero sobre un 4-vector general T = (Tμ), el cual puede representar cualquier cantidad, y tras esto sobre un 4-tensor de orden dos Q = (Qμν) que extiende de modo natural el resultado obtenido para el 4-vector T.

PROBLEMA: Demostrar que si un 4-vector T = (Tμ) satisface la relación:



o bien:



y si los componentes de
Tμ son diferentes de cero en una región espacial finita, entonces la integral sobre un 3-espacio (tomando dentro del integrando a la primera componente -la componente temporal- del vector T):


es una invariante.

La demostración de este teorema requiere el empleo del teorema de Gauss generalizado hacia un 4-espacio, en donde una integral de volumen es equivalente a una integral llevada a cabo sobre una superficie que encierra a dicho volumen:



siendo dSμ un elemento infinitesimal de una 3-superficie que encierra un 4-volumen, con lo cual la integral puesta en el lado izquierdo de esta fórmula es una integral cuádruple mientras que la integral en el lado derecho de la fórmula es una integral triple que se debe llevar a cabo sobre una 3-superficie cerrada. A continuación tenemos una “rebanada” del 4-volumen sobre el cual se deben llevar a cabo las integraciones (hay otros dos diagramas espacio-tiempo que se pueden construír para x2 y x3):




En este diagrama espacio-tiempo de Minkowski en el cual los ejes verticales son los ejes temporales, las hipersuperficies A y C son seleccionadas de modo tal que los componentes (espaciales) de Tμ se desvanecen en A y en C (obsérvese que las normales a las superficies A y C son perpendiculares al eje temporal x1). Esto siempre es posible porque se supone que la región sobre la cual los componentes de Tμ son diferentes de cero es de extensión finita. La superficie B es seleccionada de modo tal que sea perpendicular al eje-x1 (obsérvese que la normal dS1 es paralela a x1) mientras que la superficie D es seleccionada de modo tal que sea normal (perpendicular) al eje-x1 (aunque no lo parece, esto debe ser obvio tomando en cuenta la forma en la cual se construyen los diagramas de Minkowski para el sistema de referencia S’ que se supone en movimiento). Aquí los xμ y los xμ son coordenadas en dos marcos de referencia inerciales (Lorentzianos) arbitrarios. Haciendo uso del hecho de que TμdSμ es un escalar (teniendo por lo tanto el mismo valor en todos los marcos inerciales de referencia), el lado derecho del teorema de Gauss como está enunciado arriba nos permite afirmar que:

T1 dS1 + T1 dS1 = 0

T1 dS1 = - T1 dS1

y puesto que:

dS1 = - d3x___dS1 = d3x ___(con signos diferentes, véase el diagrama de arriba)

se deduce entonces que:

T1 d3x = T1 d3x

y por lo tanto

T1 d3x

es una invariante.

El argumento utilizado para llevar a cabo esta demostración también nos sirve para confirmar que la integral I es una constante en el tiempo; sólo basta considerar el límite en el que ambos marcos inerciales de referencia son idénticos (S = S’) de modo tal que x1 coincida con x1 y x2 coincida con x2.

Ahora generalizaremos el resultado anterior de un vector a un tensor de orden dos. Supóngase que tenemos un 4-tensor de orden dos Q = (Qμν) que satisface la condición:



Sea también A = (Aμ) un 4-vector cuyos coeficientes no varían con respecto a su posición en el espacio-tiempo (tomémoslos como meras constantes numéricas). Entonces AQ = AνQμν = (Tμ) = T debe satisfacer la relación:



y por lo tanto:


debe ser una invariante por el resultado que obtuvimos en el problema anterior. Sin embargo, recurriendo a la convención de sumación para índices repetidos, podemos escribir:

I = AμBμ

en donde:



Se sigue entonces de la ley del cociente para tensores (la cual nos dice que si B es un tensor cualquiera y si el producto XB nos produce otro tensor C, o sea XB = C, entonces la cantidad X es también un tensor) que si AμBμ es una invariante para un Aμ arbitrario (recuérdese que lo hemos definido como un 4-vector cuyas componentes no varían con respecto a su posición en el espacio-tiempo, siendo meras constantes numéricas), entonces Bμ se debe de transformar como un 4-vector (constante en el tiempo). En pocas palabras:

Qμ d3x

es una invariante.

Los dos resultados que hemos obtenido, tanto para un 4-vector como para un 4-tensor de orden dos, son los que nos permiten convertir leyes diferenciales de conservación en leyes integrales de conservación.

Un ejemplo de la aplicación de lo que hemos obtenido consiste en demostrar que a partir de la ley de la conservación para la carga eléctrica, ∂μJμ = 0, se encuentra que la carga total contenida en cierta región es a la vez constante en el tiempo e invariante para todos los marcos de referencia.

PROBLEMA: Demostrar que la ley de la conservación de la carga eléctrica, escrita en forma diferencial:

μJμ = 0

implica el resultado de que la carga total contenida en cierta región es a la vez constante en el tiempo e invariante para todos los marcos de referencia.

La expresión ∂μJμ = 0 es una ley diferencial de conservación. Usando los resultados anteriores y tomando en cuenta que de acuerdo a la electrodinámica el componente temporal del 4-vector J es igual a J1 = cρ en donde ρ es la densidad de la carga eléctrica (carga por unidad de volumen), podemos escribir la ley integral de conservación de la siguiente manera:



Una vez expresada de esta manera la ley integral de conservación de la carga eléctrica, la conclusión es inmediata: la carga eléctrica es constante en el tiempo y es una invariante para todos los marcos de referencia.

En este último problema hemos dado un salto breve hacia el tema de la electrodinámica relativista (el cual trataremos más a fondo en entradas posteriores) con el fin de que el lector se vaya acostumbrando y se vaya familiarizando con el tratamiento tensorial de casi todo lo que tiene que ver con los temas fundamentales de la física.

El tensor energía-tensión que hemos estudiado aquí es uno que tiene que ver con la materia como fuente primaria de masa-energía para provocar una curvatura del espacio-tiempo. Pero no es la única fuente para producir tal cosa. Posteriormente estudiaremos otro tensor, el tensor electromagnético energía-tensión, en el cual la energía es la contenida en un campo electromagnético. Cualquier fuente de energía, trátese de energía nuclear, energía solar, lo que sea, todo ello tendrá su propio tensor energía-tensión, y el efecto total combinado sumado tensorialmente (componente a componente) será lo que producirá la curvatura geométrica del espacio-tiempo. Esto significa que el tensor T en las ecuaciones de campo de la Relatividad General es en realidad una suma de tensores, todos ellos expresados necesariamente en el mismo sistema de coordenadas (y desde luego en el mismo sistema de unidades), de modo tal que las ecuaciones de campo de la Relatividad General son realmente:

G = 8πG (T1 + T2 + T3 + ...)

Sin embargo, y para fines prácticos, podemos limitarnos a trabajar con el tensor que hemos estudiado aquí, porque es el único que a fin de cuentas produce una curvatura apreciable que puede ser confirmada a través de las observaciones astronómicas.

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