miércoles, 18 de marzo de 2009

Cosmología relativista II

A continuación se llevará a cabo la derivación de la ecuación de Friedmann a partir de la métrica para Friedmann un Universo homogéneo e isotrópico.

PROBLEMA: Derivar la ecuación de Friedmann a partir de la métrica para Friedmann un Universo homogéneo e isotrópico.

De la métrica de Friedmann, podemos escribir los componentes del tensor métrico g acomodados dentro de su matriz respectiva G:



De esta matriz diagonal, invirtiéndola, podemos obtener los componentes del tensor métrico conjugado g-1 = (gαβ) que requerimos para poder subirle el índice a los símbolos de Christoffel de primer género:



Si utilizamos la notación del punto puesto encima de una variable para denotar a la derivada con respecto al tiempo de dicha variable, y si utilizamos una comilla para denotar a la derivada de la variable con respecto a ρ, podemos obtener las derivadas parciales del tensor métrico que son diferentes de cero, las cuales son:



Con las derivadas parciales ya obtenidas podemos proceder al cálculo de los símbolos de Christoffel de primer género para la métrica de Friedmann:





A continuación convertimos los símbolos de Christoffel de primer género en símbolos de Christoffel de segundo género utilizando para ello los componentes del tensor métrico conjugado obtenidos arriba:



Con los símbolos de Christoffel en nuestras manos, el siguiente paso consistirá en evaluar los componentes del tensor de Ricci R = (Rab) = (Rcacb):

Rab = Rcacb = Γcab,c - Γcac,b + Γeab Γcec - Γeac Γceb

con la finalidad de poder evaluar el tensor de curvatura de Einstein G y poder usar en ello las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Hay cuatro componentes del tensor de Ricci que tienen que ser evaluado:

1) El componente tiempo, R00

2) El componente radial, R11

3) El componente θ, R22

4) El componente φ, R33

Evaluación de la componente del tiempo

La componente del tiempo se obtiene fijando a = b = o:

R00 = = Γc00,c - Γc0c,0 + Γe00 Γcec - Γe0c Γce0

El cálculo de los términos individuales es el siguiente:



Entonces la componente del tiempo para el tensor de Ricci será:



Evaluación de la componente radial

La componente del tiempo se obtiene fijando a = b = 1:

R11 = = Γc11,c - Γc1c,1 + Γe11 Γcec - Γe1c Γce1

El cálculo de los términos individuales es el siguiente:



Entonces la componente radial para el tensor de Ricci será:



Aquí es posible hacer una simplificación posterior notando que f-1f ” = -k:



Evaluación de la componente θ

La componente θ se obtiene fijando a = b = 2:

R22 = = Γc22,c - Γc2c,2 + Γe22 Γcec - Γe2c Γce2

El cálculo de los términos individuales es el siguiente:



Entonces la componente θ para el tensor de Ricci será:


Aquí es posible hacer una simplificación posterior notando que 1- (f ’ )² = kf² y que f ” = -kf:



Evaluación de la componente φ

La componente φ se obtiene fijando a = b = 3:

R33 = = Γc33,c - Γc3c,3 + Γe33 Γcec - Γe3c Γce3

El cálculo de los términos individuales es el siguiente:



Entonces la componente φ para el tensor de Ricci será:



Aquí es posible hacer una simplificación posterior notando que (f ’ )² = 1 - kf² y que f ” = -kf:



El escalar de Ricci se obtiene mediante la contracción del tensor de Ricci con el tensor métrico, o sea:

R = gab Rab

Aplicando la convención de sumación sobre los índices repetidos (una doble sumación en este caso) y formando la suma de los cuatro términos resultantes tenemos entonces que el escalar de curvatura de Ricci es:



Con el escalar de Ricci R y el tensor de Ricci Rab podemos calcular el componente 00 del tensor de curvatura de Einstein G00:

G00 = g0ag0bRab - g00R/2

G00 = R11 - R/2

Introduciendo los resultados previos:



Ahora utilizamos un postulado propuesto por Weyl que nos dice que el comportamiento promedio neto para las galaxias es el de un fluido perfecto, con lo cual podemos tomar el tensor energía-impulso como:




De este modo, la ecuación de campo de Einstein:

G = 8GπT

Gab - Λgab = 8GπTab

evaluada para el componente ab = 00:

G00 - Λg00 = 8GπT00

nos produce lo siguiente:



Esto último es precisamente la ecuación de Friedmann.

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