miércoles, 18 de marzo de 2009

A2: La ecuación de onda electromagnética

La ecuación de onda electromagnética es representada en forma compacta por la siguiente fórmula:



en la que el operador Laplaciano (, el símbolo nabla, derivado del griego significa “arpa”):



actúa sobre la onda electromagnética φ, en donde φ puede representar un campo eléctrico E o un campo magnético B de acuerdo con la teoría del electromagnetismo de Maxwell:



Prescindiendo de la compacidad, la ecuación de onda electromagnética se puede expresar de manera más explícita en otra forma igualmente conocida:



Esta es una ecuación que se obtiene directamente de las ecuaciones de Maxwell de la teoría electromagnética, las cuales no establecen un sistema de referencia privilegiado. Así, el movimiento relativo entre un imán y una bobina de alambre:





es capaz de inducir una corriente eléctrica en el alambre ya sea que el imán sea el que se está moviendo dentro de una bobina estática o que la bobina sea la que se está moviendo mientras que el imán permanece inmóvil, en reposo; las ecuaciones que describen el intercambio entre el campo magnético y la corriente eléctrica producida por el campo magnético siguen siendo exactamente las mismas, lo único que importa es el movimiento relativo que tiene lugar entre el imán y la bobina. El principio básico de la Teoría de la Relatividad está implícito en este comportamiento. Sin embargo, al aplicar las transformaciones de Galileo, no tarda uno en descubrir que la ecuación de onda electromagnética cambia significativamente de modo tal que no hay ya una sola ecuación única que describa el comportamiento de un mismo fenómeno electromagnético, contraviniendo lo que se observa en la práctica.

PROBLEMA: Demostrar que la ecuación de onda electromagnética no permanece invariante bajo las transformaciones de Galileo.

Las transformaciones de Galileo para pasar de un sistema S que está en reposo a un sistema S’ que se está desplazando en el sentido negativo del eje-x a una velocidad V con respecto al observador en reposo están dadas por las siguientes relaciones:

____x’ = x - Vt

____y’ = y

____z’ = z

____t’ = t

La ecuación de onda electromagnética será invariante si conserva la misma forma al aplicar las transformaciones de Galileo poniéndola en los términos de las nuevas variables x’, y’, z’ y t’.

De las transformaciones de Galileo dadas arriba encontramos primero que:



y encontramos también que:



Aplicaremos ahora la regla de la cadena que para derivadas ordinarias es:



y que para derivadas parciales es:



con la cual obtenemos lo siguiente para la derivada parcial de φ con respecto a x:



Con los resultados obtenidos arriba de las transformaciones de Galileo, esta última relación se reduce a:



o bien:


Volviendo a tomar nuevamente la derivada parcial de esto último con respecto a x tenemos lo siguiente:



Procediendo de modo similar, podemos demostrar que las expresiones para la segunda derivada parcial de φ con respecto a la variable “y” y la variable “z” serán:



Procediendo de manera similar a como lo hicimos arriba, después de utilizar la regla de la cadena para poner a la primera derivada parcial de φ con respecto a la variable “t” obtenemos lo siguiente:



Tomando la segunda derivada parcial de φ con respecto a la variable “t” obtenemos entonces:



Substituyendo en la ecuación de onda electromagnética original las derivadas parciales de segundo orden que hemos obtenido, llegamos a la siguiente conclusión:



Claramente, esta fórmula es más compleja que la fórmula original. No tiene la misma forma que la que tenía su progenitora debido a la presencia del término extra destacado en color amarillo. La única manera en la cual ésta fórmula puede simplificarse es haciendo la velocidad V = 0, lo cual significa regresar a la fórmula original válida para un observador que está en reposo con respecto al éter, el medio de conducción para el cual la ecuación de onda electromagnética original adquiere la forma predicha por las leyes del electromagnetismo de Maxwell. El observador que está en reposo con respecto al éter siempre tendrá la fórmula más sencilla de todas; es un observador privilegiado. Todos los demás obtendrán fórmulas diferentes. Y esto cubre apenas las asimetrías con las que nos topamos al manipular la ecuación de onda electromagnética. Cualquier otra situación en la que estén involucradas fórmulas en las que basamos experimentos llevados a cabo con rayos de luz (o con ondas electromagnéticas de teléfonos celulares, radio y televisión) adquirirán asimetrías al pasar de un marco de referencia a otro.

La única forma en la cual podemos hacer la ecuación de onda electromagnética universalmente válida es prescindiendo de las transformaciones de Galileo, reemplazándolas por otro tipo de transformaciones bajo las cuales la ecuación de onda electromagnética siga teniendo la misma forma. Esto se logra con las ecuaciones de transformación de Lorentz, prescindiendo de los conceptos clásicos del tiempo absoluto y del espacio absoluto sobre los cuales se sustentaban las transformaciones de Galileo.

PROBLEMA: Demostrar que la ecuación de onda electromagnética sí permanece invariante bajo las transformaciones de Lorentz.

Las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema S al sistema S’ están dadas por las siguientes relaciones:

____x’ = γ(x - Vt)

____y’ = y

____z’ = z

____t’ = γ(t - Vx/c²)

con:

γ = 1/√1 - V²/c²

Procedemos de una manera similar a como lo hicimos en el problema anterior.

Tomando derivadas parciales sobre las transformaciones de Lorentz al igual que como lo hicimos con las transformaciones de Galileo, obtenemos los siguientes resultados preliminares:






Tenemos además:



Nuevamente recurrimos a la regla de la cadena para derivadas parciales:



Utilizando los resultados anteriores obtenidos con las ecuaciones de transformación de Lorentz, obtenemos el resultado siguiente para la derivada parcial de φ con respecto a la variable x:



Tomando la segunda derivada parcial de la expresión anterior tenemos lo siguiente:


Recurriendo a la regla de la cadena y simplificando, obtenemos la primera derivada parcial de φ con respecto a la variable “t”:



de lo cual obtenemos lo siguiente al tomar la segunda derivada parcial:


Los siguientes resultados son los más fáciles de obtener y deben resultar obvios:



Sustituyendo las expresiones obtenidas en la ecuación de onda electromagnética original, obtenemos el siguiente resultado:



Después de la transformación, esta ecuación es idéntica en forma a la ecuación original. Se concluye entonces que la ecuación de onda electromagnética permanece invariante en forma bajo las transformaciones de Lorentz.

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