miércoles, 18 de marzo de 2009

7: Las transformaciones de Lorentz

Conforme nos vamos familiarizando más y más con las consecuencias de los postulados de Einstein, se vuelve deseable obtener fórmulas de carácter general que nos permitan obtener toda la información que describa los eventos analizados por dos observadores en movimiento relativo el uno con respecto al otro, dos observadores situados en dos marcos de referencia distintos S y S' (se acostumbra denotar al observador en reposo como un observador colocado en el marco de referencia S mientras que el observador móvil desplazandose a una velocidad V está puesto en el marco de referencia designado como S’):





Tales ecuaciones de transformación de carácter general de un marco de referencia a otro fueron enunciadas por vez primera no por Einstein sino por el físico Lorentz, razón por la cual reciben el nombre de ecuaciones de transformación de Lorentz.

Para la derivación de las ecuaciones de transformación, en ambos marcos de referencia se centrará la atención sobre un evento común descrito por ambas personas, el cual tendrá coordenadas (x,y,z,t) en el marco de referencia S y coordenadas (x’,y’,z’,t’) en el marco de referencia S’:





Por simplicidad en la derivación de las ecuaciones de transformación, ambos marcos de referencia son seleccionados de modo tal que sus orígenes (el punto O en el marco de referencia de S y el punto O’ en el marco de referencia de S’) coincidan en los tiempos t=0 y t’=0.

Supóngase que cuando los orígenes de ambos marcos de referencia coinciden se dispara un pulso de luz en el origen común de ambos. Por el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad, este pulso de luz se propagará con la misma velocidad tanto dentro del marco de referencia S como dentro del marco de referencia S’. Este es precisamente el punto clave para poder obtener la transformación de un marco de referencia a otro, el hecho de que la velocidad de la luz c que debe ser la misma en ambos marcos de referencia, tanto para el marco de referencia S:

c = x / t

x = ct

como para el marco de referencia S’:

c = x’ / t’

x’ = ct’

¿Cuál es el tipo de transformación que estamos buscando? Si recordamos la derivación de los resultados preliminares sobre los fenómenos de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud, resulta claro que las transformaciones que estamos buscando deben ser transformaciones lineares. Estando fija la velocidad V a la cual se desplaza el marco de referencia S’, si por la dilatación del tiempo medido en S’ cuando se mide en S requiere de la aplicación de un factor de corrección constante (esto es, si la velocidad V es tal que cuando un lapso de tiempo medido en S’ es de 10 segundos entonces el lapso de tiempo medido en S es de 15 segundos, con lo cual al mantenerse constante el factor de corrección entonces un lapso de tiempo de 20 segundos medido en S’ equivaldrá a un lapso de tiempo de 30 segundos medido en S del mismo modo que un lapso de tiempo de 30 segundos medido en S’ equivaldrá a un lapso de tiempo de 45 segundos medido en S) el factor de corrección debe ser una simple constante multiplicativa cuyo valor depende únicamente de la velocidad relativa V entre ambos marcos de referencia, la cual suponemos constante. Si el factor de corrección no fuera constante, si la dilatación del tiempo de un marco de referencia a otro no aumentara en forma directamente proporcional entre ellos, entonces la transformación que requeriríamos sería una transformación de carácter no-linear. Esto en lo que concierne a la dilatación del tiempo. Y en lo que concierne a la contracción de longitud, también allí al descubrir el fenómeno de la contracción de longitud encontramos que el factor de corrección requerido era una constante multiplicativa. En ambos casos, necesitamos de transformaciones lineares. Si las transformaciones no fuesen lineares, una longitud x2-x1 medida en el marco de referencia S dependería de la selección del origen del marco de referencia, y un intervalo de tiempo t2-t1 dependería de cuándo el tiempo fue seleccionado para tener un valor de cero; en cierta forma la no-linearidad nos llevaría de regreso hacia los conceptos del tiempo absoluto y la distancia absoluta. Por otro lado, puesto que el movimiento relativo entre ambos marcos de referencia S y S’ ocurre únicamente en la dirección de los ejes de las equis (x), las coordenadas y y z deben permanecer iguales, o sea y = y’ y z = z’.

Cuando ocurre el evento en el cual el pulso luminoso (disparado cuando los orígenes O y O’ de ambos marcos de referencia coincidían) llega al punto P, de acuerdo con la perspectiva del observador en S el marco de referencia móvil S’ se ha desplazado hacia la derecha una distancia de Vt en un tiempo t medido por el observador en S. Pero también desde la perspectiva del observador en S, una vara de medir llevada consigo por S’ a lo largo del eje de las equis (x) se ha contraído por un factor de corrección constante que llamaremos a. Para el observador fijo, por lo tanto, la relación entre su marco de referencia y el marco de referencia móvil debe ser:

x = ax’ + bt’

x = a{x’ + (b/a} t’

en donde a y b son simples constantes multiplicativas (factores lineares que son independientes de x’ y t’).

Así como los fenómenos de la relatividad se vuelven cada vez más evidentes a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, algo que también debe ser cierto es que a bajas velocidades las ecuaciones de transformación que hemos escrito arriba se deben reducir a los resultados clásicos que ya conocemos, las transformaciones de Galileo basadas en la noción del tiempo absoluto y el espacio absoluto:

x = x - Vt

En otras palabras, para valores bajos de V/c, a debe acercarse a 1 y b/a debe acercarse a V, la transformación relativista se debe reducir a la transformación clásica para bajas velocidades de V. Esto nos permite escribir la transformación relativista como:

x = a{x’ + Vt’}

La transformación inversa debe tener la misma forma, excepto por el cambio de signo involucrado por el hecho de que el marco de referencia S se está desplazando hacia la izquierda mientras que el marco de referencia S’ permanece estático.

x’ = a{x - Vt}

Pero ya se había señalado que, por el segundo postulado de la Teoría de la Relatividad:

x = ct

x’ = ct’

Sustituyendo estas dos relaciones tanto en la transformación de S’ a S como en la transformación inversa de S a S’, obtenemos lo siguiente:

ct = a ( ct’ + Vt’ )

ct = a ( c + V ) t’

y:

ct’ = a ( ct - Vt )

ct’ = a ( c - V ) t

Eliminando t de ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente:

ct’ = a (c - V ) (1/c) a (c + V) t’

c² t’ = a² (c² - V² ) t’

De lo cual obtenemos para a lo siguiente:

a² = c² / (c² - V²)

a² = 1 / (1 - V²/c² )

a = 1 / √(1 - V²/c²)

Este resultado nos debería de ser ya familiar. a es el mismo factor de corrección γ que habíamos obtenido anteriormente. En pocas palabras, a = γ.Con esto:

x = γ{x’ + Vt’}

Podemos obtener la ecuación de transformación para el tiempo de la ecuación

x’ = a{x - Vt}

usando

x = a{x’ + Vt’}

para t:

x’ = a [ a (x’ + Vt’) - Vt]

de lo cual:

t = at’ + ( a - 1/a) (x’/V)

t = a (t’ + Vx’ /c²)

Resumiendo, y empleando el símbolo γ en lugar de a, para cambiar del marco de referencia S’ que se está moviendo de izquierda a derecha a una velocidad V al marco de referencia S del observador estacionario, las ecuaciones de transformación de Lorentz son:

____x = γ(x’ + Vt’)

____y = y’

____z = z’

____t = γ(t’ + Vx’/c²)

Podemos obtener la transformación inversa para cambiar del marco de referencia S al marco de referencia S’ directamente de las anteriores ecuaciones. De la primera ecuación y de la cuarta ecuación, podemos reescribirlas en forma tal que tanto la variable x’ como la variable t’ puedan ser despejadas por medio de ecuaciones simultáneas (por medio de determinantes aplicando la regla de Cramer o cualquier otra técnica matemática del gusto del estudiante):

x' + Vt' = x

(V/c²) x' + t' = t

Es así como obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

____x’ = γ(x - Vt)

____y’ = y

____z’ = z

____t’ = γ(t - Vx/c²)

Obsérvese que, exceptuando por la diferencia entre los signos “+” y “-” entre la primera y la cuarta ecuación de ambas transformaciones, ambas transformaciones son completamente simétricas. La diferencia en el signo simplemente indica que mientras que para el observador en S la persona en S’ se está moviendo en una dirección positiva (hacia la derecha), para la persona en S’ el observador en S se está moviendo en sentido contrario, en una dirección negativa (hacia la izquierda).

En virtud de que se requiere algo de práctica para poder adquirir cierta destreza en el empleo de las transformaciones de Lorentz para la resolución de problemas, a continuación veremos algunos ejercicios que nos darán una familiaridad en la transformación de coordenadas de un sistema de referencia a otro. Se observará que estas transformaciones de coordenadas no son muy diferentes a las transformaciones (clásicas) de coordenadas de Galileo, excepto que las fórmulas que empleamos aquí se basan en la validez de los dos postulados de la Teoría Especial de la Relatividad.

PROBLEMA: Para un observador O un destello de luz sale del punto x = 100 kilómetros, y = 20 kilómetros, z = 30 kilómetros en un tiempo t = 0.0005 segundo. ¿Cuáles son las coordenadas del evento para un segundo observador O que se mueve con respecto al primero a lo largo del eje común x-x’ a una velocidad de V = -0.8c?

El factor de corrección en este caso es:

γ = 1 / √(1 - V²/c²) = 1 / √(1 - (-0.8)² = 1 / 0.6 = 1.667

De las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema de referencia S al sistema de referencia S tenemos entonces lo siguiente:

____x’ = γ(x - Vt) = (1.667)[100 Km - (-0.8) (3·108 m/seg) (5·10-4 seg)] = 367 Km

____y’ = y = 20 Km

____z’ = z = 30 Km

____t’ = γ(t - Vx/c²) = (1.667)[5·10-4 seg - (-0.8c) (100 Km ) / ] = 12.8·10-4 seg

De esta manera, el evento tiene las siguientes coordenadas:

__En S: (x, y, z, t) = (100 Km, 20 Km, 30 Km, 5·10-4 seg)

__En S’: (x’, y’, z’, t’) = (367 Km, 20 Km, 30 Km, 12.8·10-4 seg)

En la mayoría de los problemas relativistas, más que obtener las coordenadas de un mismo evento visto en dos marcos de referencia distintos, en lo que realmente estamos interesados es en obtener la diferencia entre las coordenadas de dos eventos distintos y comparar dicha diferencia de un marco a otro.

PROBLEMA: Derivar, empleando las transformaciones de Lorentz, la fórmula para la dilatación del tiempo, especificando las coordenadas de cada evento involucrado en el análisis.

Es suficiente considerar únicamente dos eventos para la resolución de este problema. El primer evento es aquél en el cual los relojes de S y S’ están el uno frente al otro, sincronizados:



El segundo evento es aquél en el cual, de acuerdo con el observador en el sistema S, el reloj en S’ se ha movido de una posición x1 a una posición x2 en su eje de coordenadas:



Obsérvese que que para el reloj viajero la coordenada posición x dentro de su marco de referencia S’ no cambia en lo absoluto, ya que viaja a una velocidad V (con respecto al sistema de referencia S) llevando consigo su sistema de referencia.

Sea Δt’ = t’2 - t’1 el intervalo de tiempo propio medido dentro del marco de referencia S’ en un mismo punto fijo x’0 dentro del marco de referencia S’. El intervalo de tiempo Δt entre los dos eventos que corresponde al marco de referencia S puede ser obtenido de las ecuaciones de transformación de Lorentz:

t2 = γ( t’2 + V x’2/c²) = γ( t’2 + V x’0/c²)

t1 = γ( t’1 + V x’1/c²) = γ( t’1 + V x’0/c²)

Δt = t2 - t1

Δt = γ( t’2 + V x’0/c²) - γ( t’1 + V x’0/c²)

Δt = γ(t’2 - t’1)

Δt = γΔt’

Este es el fenómeno relativista de la dilatación del tiempo. Hemos obtenido directamente a partir de las transformaciones de Lorentz la relación para la dilatación del tiempo de un reloj. La resolución del problema requirió determinar los eventos sobre los cuales se llevaría a cabo la transformación de las coordenadas. Una vez que se han logrado determinar los eventos, el problema está prácticamente resuelto.

PROBLEMA
: Derivar, empleando las transformaciones de Lorentz, la fórmula para la contracción de longitud.

Considérese una vara de medición cuyos extremos en el marco de referencia S’ están identificados como x’2 y x’1. La longitud propia L0 de la vara de medición dentro del marco de referencia S’ será:

L0 = x’2 - x’1

La longitud de esta vara de medición, medida en el marco de referencia S con ambos extremos medidos en el mismo tiempo t0, en S será:

L = x2 - x1

Usando las relaciones de transformación de Lorentz, tenemos lo siguiente:

x’2 = γ(x2 - Vt2) = γ(x2 - Vt0)

x’1 = γ(x1 - Vt1) = γ(x1 - Vt0)

Por lo tanto:

x’2 - x’1 = γ(x2 - Vt0) - γ(x1 - Vt0)

x’2 - x’1 = γ(x2 - x1)

x2 - x1 = (x’2 - x’1) /γ

L = L0

Este es el fenómeno relativista de la contracción de longitud.

Las transformaciones de Lorentz nos preparan para un nuevo efecto relativista que no habíamos encontrado previamente: la desincronización relativista de los relojes.

PROBLEMA: Considérense dos relojes sincronizados que están puestos en lugares diferentes x’1 y x’2 dentro del marco de referencia S’ al cual consideramos el marco de referencia móvil. ¿Cuáles serán los tiempos dados por dichos relojes en el tiempo t0 dentro del marco de referencia S?

En los problemas anteriores, teníamos puestos dos o más relojes sincronizados en el marco de referencia fijo S, pero teníamos puesto un solo reloj en el marco de referencia móvil S. Ahora vamos a complicar un poco más esa situación, con dos relojes colocados en el marco de referencia móvil en lugares diferentes. Supongamos que hay un reloj A puesto en la coordenada x’1 del marco de referencia móvil y otro reloj B puesto en la coordenada x’2 del mismo marco de referencia.

De las ecuaciones de transformación de Lorentz tenemos lo siguiente para dos relojes diferentes puestos en el marco de referencia móvil S’:

t’A = γ( t0 + V x1/c²)

t’B = γ( t0 + V x2/c²)

Entonces los tiempos de los relojes desincronizados dentro el marco de referencia S, relojes de S que están sincronizados en S, estarán relacionados de la manera siguiente:

t’A - t’B = γ(x2 - x1)(V/c²)

t’A - t’B = L0V/c²

en donde L0 = γ(x2 - x1) = x’2 - x’1 es la distancia propia entre los dos relojes situados dentro del marco de referencia S’.

Este resultado que acabamos de obtener tiene implicaciones mucho más profundas de lo que aparentan a primera vista. Dos relojes separados por una distancia L0 y sincronizados dentro del marco de referencia en el que se encuentran se verán desincronizados en un marco de referencia S’ en el que se estén moviendo a una velocidad V, con el reloj perseguidor retrasado por un tiempo L0V/c². Esto significa que dos eventos diferentes que ocurran a un mismo tiempo en un marco de referencia S’ ocurrirán en tiempos diferentes para en un marco de referencia S. En efecto, dos eventos diferentes que sean simultáneos dentro de un marco de referencia S no serán simultáneos para un observador que viaje en un marco de referencia S’ del mismo modo que dos eventos diferentes que sean simultáneos dentro de un marco de referencia S’ no serán simultáneos para un observador que viaje en un marco de referencia S. Esto nos confirma algebraicamente lo que ya habíamos visto geométricamente en nuestra introducción a los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, el hecho de que, relativísticamente hablando, no existe la simultaneidad absoluta. La falta plena de entendimiento de este hecho es lo que dá pie a falsos razonamientos que conducen a paradojas y confusiones entre quienes empiezan sus estudios de relatividad por vez primera.

Los problemas relativistas de contracción de longitud en los que todo se resuelve con la simple aplicación de la fórmula L = L0(1 - V²/c²) son problemas sencillos que involucran meramente una separación espacial de las coordenadas, mientras que los problemas relativistas en los que simplemente se busca una dilatación del tiempo son problemas sencillos que involucran meramente una separación temporal de las coordenadas. Es importante establecer claramente la diferencia profunda entre el concepto de la “separación espacial de las coordenadas” y “longitud”. Un error común en la solución de problemas consiste en simplemente multiplicar o dividir un determinado intervalo espacial por el término √(1 - V²/c²). Esta aproximación es válida si se trata de hallar relaciones entre longitudes, entendiéndose por longitud algo como x2 - x1. Sin embargo, si se trata de un intervalo espacial entre dos acontecimientos que no tienen lugar simultáneamente, la respuesta se obtiene utilizando la técnica de substracción en coordenadas de Lorentz y no multiplicando o dividiendo la expresión espacial original por √(1 - V²/c²). Del mismo modo, si los observadores O y O’ miden la separación temporal entre dos acontecimientos que para ambos observadores tienen lugar en diferentes sitios, estas separaciones temporales no se relacionan simplemente multiplicando o dividiendo por √(1 - V²/c²). La resolución de los siguientes problemas hará más claro lo que se acaba de afirmar, y será obvio que no basta con simplemente multiplicar o dividir por el término √(1 - V²/c²) para resolver problemas relativistas. Es necesario aplicar las transformaciones de Lorentz.

PROBLEMA: Para un observador O, dos acontecimientos están separados en el espacio y en el tiempo por 600 metros y por 8·10-7 segundo. ¿Con qué velocidad debe moverse un observador O’ con respecto a O para que los acontecimientos aparezcan simultáneos a O’?

Establecemos la diferencia de tiempos de acuerdo con la transformación de Lorentz:

t’ = γ(t - Vx/c²)

La diferencia de tiempos será:

t’2 - t’1 = γ(t2 - Vx2/c²) - γ(t1 - Vx1/c²)

Para que los dos acontecimientos aparezcan simultáneos a , se requiere que t’2 = t’1. Entonces:

0 = γ(t2 - Vx2/c²) - γ(t1 - Vx1/c²)

t2 - t1 = V/c² (x2 - x1)

8·10-7 segundo = (V/c) (600 metros/3·108 m/seg)

V/c = 0.4

V = 0.4 c

PROBLEMA: Un tren de media milla de longitud (medida por un observador que viaja dentro del tren) se mueve a 100 millas/hora. Dos destellos de luz inciden simultáneamente en los extremos del tren para un observador en tierra. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre estos eventos para un observador O’ que viaja en el tren?

Supongamos que para el observador O en tierra se asignan las coordenadas (x1, t1) y (x2, t2) a los dos eventos, mientras que para el viajero O’ que va en el tren las coordenadas correspondientes de los dos eventos son (x’1, t’1) y (x’2, t’2). Entonces la situación es la siguiente





Convertimos primero las millas por hora a millas por segundo tanto para la velocidad del tren como para la velocidad de la luz tomando en cuenta que una milla equivale a 1.609 kilómetros:

V = (100 millas/hora) (1 hora / 3600 segundos) = 2.78·10-2 millas/segundo

c = 3·108 m/seg/(1 milla/1609 metros) = 1.86·105 millas/segundo

Para este problema:

V/c = (2.78·10-2 millas/segundo) /(1.86·105 millas/segundo) = 1.495·10-7

y el factor γ = 1 / √(1 - V²/c²) para fines prácticos lo podemos tomar como igual a la unidad.

Establecemos ahora la diferencia de tiempos de acuerdo con la transformación de Lorentz para pasar del sistema de referencia S’ al sistema de referencia S:

t = γ(t’ + Vx’ /c²)

La diferencia de tiempos entre los dos acontecimientos (los dos destellos de luz) de acuerdo con el observador S será:

t2 - t1 = γ ( t’2 + V x’2/c²) - γ ( t’1 + V x’1/c²)

t2 - t1 = (t’2 - t’1) + (V/c²) (x’2 - x’1)

Si los dos destellos inciden simultáneamente en los extremos del tren para un observador en tierra (ocurriendo al mismo tiempo) entonces t1 = t2 y:

0 = (t’2 - t’1) + {(2.78·10-2 milla/seg) / (1.86·105 millas/seg)² } (0.5 milla)

t’2 - t’1 = - 4.02·10-3 segundo___(¡Obsérvese el signo menos!)

El signo menos obtenido en la respuesta nos indica que para el observador viajero que va en el tren el acontecimiento 1 (en el punto A en la figura) ocurre después que el acontecimiento 2 (en el punto B en la figura).

Anteriormente al estudiar los diagramas espacio-tiempo de Minkowski ya habíamos hablado acerca de la introducción típica con la que varios textos presentan la ausencia de simultaneidad entre dos eventos, con un marco de referencia S de un observador situado a un lado de las vías del ferrocarril justo a la mitad de dos torres de luz que se activan en forma sincronizada (al mismo tiempo) emitiendo dos pulsos luminosos de las dos torres de luz usando relojes sincronizados en el marco de referencia de S para lanzar los pulsos luminosos en forma tal que el estallido de uno de los pulsos luminosos coincide justo con el extremo delantero del ferrocarril y el estallido del otro pulso luminoso coincidirá justo con el extremo trasero del ferrocarril:



De acuerdo con la explicación que dan en dichos libros, el observador en tierra situado a un lado de las vías del ferrocarril en el marco de referencia S recibe los dos pulsos luminosos al mismo tiempo, y por lo tanto concluye que ambos eventos fueron simultáneos dentro de su marco de referencia, pero a causa de la velocidad finita de la luz y en virtud de que el pasajero del ferrocarril está en movimiento, uno de los pulsos luminosos le llega primero que el otro, y el pasajero concluye que los destellos no ocurrieron al mismo tiempo, que no fueron simultáneos, dada la diferencia de tiempos en que tardan en llegarle los dos rayos de luz a su plataforma móvil, y por lo tanto para él los eventos no son simultáneos en su marco de referencia S’. Sin embargo, ya se había señalado que esta explicación es una explicación simplista y en cierta forma errónea porque no toma en cuenta para nada los verdaderos efectos relativistas de pérdida de simultaneidad que hemos visto arriba, y como acabamos de ver en los problemas que se han resuelto la pérdida en la simultaneidad no se debe simplemente a la velocidad finita de la luz. Efectivamente, hay una diferencia de tiempos en la llegada de los dos pulsos luminosos al observador viajero que está en el ferrocarril, pero también hay una pérdida de simultaneidad real que no es ocasionada por la velocidad finita de la luz sino por efectos de índole relativista, y para poder calcular numéricamente ésta pérdida relativista de simultaneidad es necesario identificar a los dos eventos que ocurren simultáneamente en el marco de referencia S y calcular las coordenadas (x’,t’) de cada uno de dichos eventos (o mejor dicho, las diferencias entre las coordenadas) para S’ de acuerdo con las transformaciones de Lorentz. Si queremos agregarle a todo esto lo que el viajero situado a la mitad de los vagones del ferrocarril ve entonces tenemos que llevar a cabo cálculos adicionales en base a la velocidad finita de la luz, lo cual viene a complicar el problema. Si el viajero pudiese estar mágicamente al mismo tiempo en ambos extremos del tren por algún milagro de ubicuidad (como el que se le atribuye a algunos santos) de modo tal que la luz de ambos destellos no tenga que recorrer ni siquiera un milímetro para que el viajero los vea justo cuando ocurren frente a él, de cualquier manera vería a un destello ocurrir antes que el otro, y la diferencia de tiempos entre ambos acontecimientos sería la misma predicha por las transformaciones de Lorentz. Esto ya no tiene nada que ver con el tiempo finito de la velocidad de la luz sino con el hecho de que relojes que están sincronizados en un marco de referencia se salen fuera de sincronía en otro marco de referencia porque el tiempo no es absoluto. Hay una distinción bastante clara entre ver un acontecimiento y medir las coordenadas del mismo, del mismo modo que hay una distinción bastante clara entre ver dos acontecimientos que nos parecen o no nos parecen ser simultáneos y medir la pérdida de simultaneidad a causa de los efectos relativistas.

PROBLEMA: (a) Un observador O’ se mueve con una velocidad V = 0.8c respecto a otro observador O. Los relojes se ajustan de tal manera que t = t’ = 0 en x = x’ = 0. Si para O un destello de luz sale en x = 50 metros y t = 2·10-7 segundo, ¿cuál es el tiempo de este acontecimiento medido por O? (b) Si un segundo destello aparece en x’ = 10 metros y t’ = 2·10-7 segundo para el observador O’, ¿cuál será el intervalo de tiempo entre los dos acontecimientos medido por O? (c) ¿Cuál es la separación espacial entre los dos acontecimientos medida por O’? (d) ¿Cuál es la separación espacial entre los dos acontecimientos medida por O?

(a) Este parte del problema involucra una transformación a una coordenada de tiempo t’ que se lleva a cabo en forma directa con una de las ecuaciones de transformación de Lorentz:

t’ = γ(t - Vx/c²)

La evaluación de γ nos dá:

γ = 1 / √(1 - V²/c²) = 1 / √(1 - (0.8) = 1 / √0.36 = 1/0.6 = 1.667

Entonces:

t’ = (1.667) [2·10-7 segundo - (0.8c) (50 metros)/c² ]

t’ = (1.667) [[2·10-7 segundo - 1.333·10-7 segundo] = 1.11·10-7 segundo

(b) Para un segundo destello de luz, identificamos sus coordenadas en S’ como (x’2, t’2) = (10 m, 2·10-7 segundo). El intervalo de tiempo t2 - t1 entre los dos acontecimientos medido por O estará dado por:

t2 - t1 = γ( t’2 + V x’2/c²) - γ( t’1 + V x’1/c²)

t2 - t1 = γ(t’2 - t’1) + γ (V/c²) (x’2 - x’1)

t2 - t1 = γ [(t’2 - t’1) + γ (V/c²) (x’2 - x’1)]

Tenemos el tiempo t’1 del primer acontecimiento (destello) medido por O’ que es el que acabamos de obtener arriba, 1.11·10-7 segundo, y tenemos la coordenada espacial x’2 del segundo acontecimiento. Pero no tenemos aún la coordenada espacial x’1 del primer acontecimiento, la cual tenemos que calcular antes de poder seguir adelante:

x’1 = γ (x1 - Vt1)

x’1 = (1.667) [50 metros - (0.8c) (2·10-7 segundo)]

x’1 = (1.667) [50 metros - 48 metros]

x’1 = 3.33 metros

Tenemos ya todos los datos que requerimos para seguir adelante:

t2 - t1 = (1.667) [(2·10-7 segundo - 1.11·10-7 segundo)
+ (1.667) (0.8/c) (10 metros - 3.33 metros)]

t2 - t1 = 1.48·10-7 segundo + 0.296·10-7 segundo

t2 - t1 = 1.78·10-7 segundo

(c) Teniendo x’1 y x’2, la evaluación de x’2 - x’1 es directa:

x’2 - x’1 = 10 metros - 3.33 metros = 6.67 metros

(d) Recurrimos nuevamente a las transformaciones de Lorentz para encontrar la diferencia entre las coordenadas espaciales de los dos acontecimientos en S cuando se conoce la diferencia entre las coordenadas espaciales de los dos acontecimientos en S’:

x2 - x1 = γ (x’2 + Vt’2) - γ (x’1 + Vt’1)

x2 - x1 = γ (x’2 - x’1) + γV (t’2 - t’1)

x2 - x1 = (1.667) [6.67 metros + (0.8) (3·108 m/seg) (2·10-7 seg - 1.11·10-7 seg)]

x2 - x1 = 11.11 metros + 35.60 metros = 46.7 metros

Repasando la relación:

t2 - t1 = γ(t’2 - t’1) + γ (V/c²) (x’2 - x’1)

se concluye que si dos acontecimientos son simultáneos para O (lo cual requiere t1 = t2) no pueden ser simultáneos para O’ ; esto es imposible. Y si dos acontecimientos son simultáneos para O’ (lo cual requiere t’1 = t’2) no pueden ser simultáneos para O. Esto ya lo habíamos visto geométricamente al estudiar los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, y lo comprobamos ahora algebraicamente con las ecuaciones de transformación de Lorentz.

Las ecuaciones de transformación de Lorentz, aplicadas bajo el contexto de la Teoría Especial de la Relatividad, aparecen publicadas en el primer trabajo de Einstein en el que expuso los conceptos de dicha teoría (el cual es reproducido en su versión inglesa en un apéndice puesto al final de esta obra):





Posiblemente haya quien se pregunte aquí por qué son llamadas ecuaciones de transformación de Lorentz y no ecuaciones de transformación de Einstein. Esto se debe a que, si bien fue Einstein quien generalizó estas ecuaciones de transformación derivándolas de los dos postulados sobre los cuales está fundada la Teoría Especial de la Relatividad, el holandés Hendrik Antoon Lorentz se le adelantó publicándolas primero, pero no aplicadas a los fenómenos propios de la mecánica sino de la electrodinámica, y ello sin suponer efectos relativistas, sino meramente como un esquema ingenioso de simplificación matemática para hacer valer las ecuaciones de Maxwell dándoles cierta cualidad de invariancia. El mérito de Einstein fue el haberles dado a estas ecuaciones de transformación un carácter universal, general, aplicable no sólo a la electrodinámica sino a toda la mecánica, derivándolas no de consideraciones hechas sobre fenómenos propios de la teoría del electromagnetismo, sino de los dos postulados básicos.

En la resolución de muchos problemas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, conviene resolverlos tanto algebraicamente con las ecuaciones de transformación de Lorentz como representarlos geométricamente con los diagramas espacio-tiempo de Minkowski, conviene recurrir a ambos métodos que se complementan formidablemente el uno al otro y nos dan una mejor idea de lo que está sucediendo.

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