miércoles, 18 de marzo de 2009

El experimento que antecedió a la teoría

“¿Qué es el tiempo?” - en alguna ocasión
se le llegó a preguntar a Einstein, quizá
para meterlo en un aprieto filosófico.
“Es lo que medimos con el reloj” - contestó.



Es interesante el hecho de que la primera confirmación experimental de la Teoría Especial de la Relatividad se dió en 1881 cuando aún no existía dicha teoría e inclusive cuando Einstein apenas tenía dos años de edad (nació en 1879). La Teoría Especial de la Relatividad sería publicada 24 años después, en 1905, y cuando Einstein desde Europa dió a conocer al mundo su teoría ni siquiera parecía haber estado bien enterado de los resultados obtenidos en aquél famoso experimento llevado a cabo por vez primera en los Estados Unidos por el físico Albert Michelson 24 años atrás. Cuando Einstein elaboró su teoría no la concibió con la finalidad de explicar los resultados obtenidos por Michelson, la elaboró con el fin de liberar de asimetrías las ecuaciones básicas del electromagnetismo descubiertas por Maxwell.

Cuando Michelson llevó a cabo su ahora ya famoso experimento, la intención de Michelson era determinar la rapidez con la cual se estaba moviendo la Tierra en el espacio en relación con ese medio estático, invisible y universal que se suponía que servía como medio de conducción para la transmisión de las señales luminosas, el éter, el cual había sido postulado por varios físicos de prestigio como la gran referencia cósmica con respecto a la cual el movimiento absoluto podía ser detectado. Michelson esperaba poder detectar desde su laboratorio no sólo la velocidad a la cual se estaba moviendo la Tierra con respecto al éter, sino inclusive la dirección hacia la cual o de la cual se estaba acercando o alejando del éter en un momento dado al girar la Tierra en torno al Sol.

El aparato original de Michelson cuando fue utilizado por vez primera tenía el siguiente aspecto:





Este aparato trabajaba sobre el siguiente esquema simplificado:


Alineación al centro


Todo el aparato estaba montado sobre una enorme piedra caliza montada sobre madera suave flotando a su vez en una piscina de mercurio líquido con el fin de disminuír las vibraciones del instrumento. Sobre la plataforma había una fuente de luz de la cual emanaba un haz que con la ayuda de un espejo semireflejante era dividido en dos caminos diferentes, dirigiéndose parte del haz por transmisión directa a través del espejo semireflejante hacia un espejo opuesto hacia la fuente de luz (situado a la derecha del dibujo), y dirigiéndose la otra parte del haz por reflexión directa hacia otro espejo (situado en la parte superior del dibujo). Ambos haces eran reflejados por los espejos, y al combinarse los haces separados nuevamente lograban pasar por el espejo semireflejante hacia un detector que consistía básicamente en un telescopio graduado. Puesto que uno de los haces de la combinació seguía una ruta había seguido una trayectoria más larga que el otro, al juntarse nuevamente ambos haces se producía un patrón de interferencia propio de las ondas que llegan fuera de fase. A continuación tenemos un bosquejo del efecto que se obtenía del aparato:





El objetivo de la rueda que flotaba sobre la piscina de mercurio líquido era girar todo el instrumental (fuente de luz, espejos, telescopio) situado sobre la plataforma para dejar que el movimiento con respecto al éter alterara las franjas de interferencia observadas en el telescopio y a través de la alteración determinar la velocidad del aparato (y por lo tanto de la Tierra sobre la cual estaba puesto el aparato) con respecto al éter. Obviamente, para poder obtener un patrón de interferencia entre dos haces de luz originados de una misma fuente pero arribando con una diferencia de longitud en sus trayectorias, era necesario utilizar un haz luminoso monocromático, de un solo color (y por lo tanto de una sola frecuencia):





El experimento estaba diseñado sobre una premisa muy fácil de entender: si existe el éter absoluto, inamovible, que permea todo el espacio, medio usado por las ondas electromagnéticas incluída la luz misma para propagarse, entonces si un rayo luminoso es lanzado directamente hacia un espejo el tiempo total de ida y vuelta del rayo luminoso será diferente si dicho rayo de luz es lanzado en una dirección que coincide con la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter que el tiempo total de ida y vuelta si dicho rayo de luz es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter, suponiéndose que este “viento del éter” se debe al movimiento combinado de rotación y traslación de la Tierra en el cosmos. En el aparato de Michelson, aunque no sepamos ni podamos ver en qué dirección está “soplando” el viento del éter, nos basta con ir girando la rueda sobra la cual está montada todo el instrumental para poder obtener una diferencia de tiempos la cual, aunque minúscula, debe poder ser detectada de los patrones de interferencia formados en el telescopio detector.

Cuando un rayo de luz es lanzado hacia un espejo a lo largo de una misma dirección con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del laboratorio con respecto al éter, entonces si la velocidad del laboratorio moviéndose en contra del estático éter es V la velocidad del rayo luminoso se verá disminuída de c a c-V en su viaje de ida, y se verá aumentada a c+V en su viaje de retorno (obsérvese que bajo la hipótesis del éter, al no ser la velocidad de la luz la misma para todos los marcos de referencia en movimiento absoluto con respecto al éter no existe impedimento alguno para que los objetos materiales puedan moverse a velocidades mayores que la velocidad de la luz):





Llamando L a la distancia entre la fuente de luz y el espejo reflector, el tiempo total de ida y vuelta del haz luminoso será la suma del tiempo de ida:

Tida = L / (c - V)

a la del tiempo de vuelta:

Tvuelta = L / (c + V)

o sea:

Ttotal = Tida + Tvuelta

Ttotal = L{ 1/(c - V) + 1/(c + V) }

Ttotal = L{ (c + V)/(c² - V²) + (c - V)/(c² - V²) }

Ttotal = 2Lc/(c² - V²)

Ttotal = (2L/c)/(1 - V²/c²)

El caso en el cual el rayo de luz es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección en la cual está “soplando” el viento del éter se puede comparar mediante una analogía con un avión en el aire. Un avión que vuela de Sur a Norte a una velocidad de 20 metros por segundo tardará diez segundos en recorrer una distancia de 200 metros volando de Sur a Norte cuando no está soplando viento alguno, pero si el avión es arrastrado al mismo tiempo de Este a Oeste por el viento a una velocidad de 12 metros por segundo, tardará más tiempo en recorrer los mismos 200 metros de Sur a Norte ya que su velocidad efectiva en dicha dirección habrá disminuído a 16 metros por segundo. Tardará 12.5 segundos en lugar de diez en recorrer esos 200 metros de Sur a Norte:



Esto lo podemos deducir con una simple substracción vectorial de velocidades llamando v a la velocidad del avión en un día tranquilo sin viento alguno, V la velocidad con la cual empieza a soplar el viento, y u la velocidad efectiva del avión de de Sur a Norte:

u = v - V



Vectorialmente, la velocidad v del avión es disminuída en su sentido de Norte a Sur de 20 metros por segundo a una velocidad efectiva u de 16 metros por segundo por el “soplo del viento” (el avión sigue manteniendo su misma velocidad de acuerdo a lo que le marcan al piloto los instrumentos). La magnitud de la velocidad efectiva la obtenemos con la simple aplicación de teorema de Pitágoras:

v² = V² + u²

(20 m/seg)² = (12 m/seg)² + u²

u² = (20 m/seg)² - (12 m/seg)²

u² = 256 m²/seg²

u = 16 m/seg

Esto mismo lo podemos generalizar para obtener una expresión para el tiempo total de ida y vuelta del rayo luminoso cuando es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección del “viento del éter”.

PROBLEMA: Suponiendo la existencia del éter, obtener una expresión general para calcular el tiempo total de ida y vuelta de un haz luminoso cuando el rayo de luz es lanzado hacia un espejo en una dirección perpendicular con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del haz en relación al éter, siendo L la distancia entre la fuente luminosa y el espejo reflector.

La resolución de este problema consiste simplemente en generalizar con símbolos lo que acabamos de ver en el ejemplo de arriba. El tiempo de ida Tida del haz en una dirección perpendicular con respecto a la cual se está efectuando el movimiento del haz en relación al éter será igual al tiempo de regreso Tvuelta del haz al punto de donde fue lanzado, siendo este tiempo igual a:

Tida = L / √c² - V²

y por lo tanto el tiempo total será:

Ttotal = 2L/ √c² - V²

Ttotal = (2L/c) / √ 1 - V²/c²

Obsérvese que este tiempo es diferente del tiempo total de recorrido que se obtiene cuando el haz luminoso es lanzado en una dirección paralela (en la misma dirección) a la dirección del “viento del éter” en vez de ser lanzado en una dirección perpendicular a dicho viento.

PROBLEMA: Suponiendo la existencia del éter, obtener una expresión general aproximada para calcular la diferencia de tiempos en un aparato en el cual se lanza un rayo de luz recorriendo una distancia L hacia el espejo reflector en su trayecto de ida y vuelta cuando el rayo de luz viaja en una dirección paralela a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, y el tiempo total de ida y vuelta medido en el mismo aparato cuando el rayo de luz es lanzado viajando en una dirección perpendicular a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”. ¿Cómo se comparan estos dos tiempos con el tiempo medido por un observador privilegiado que esté en reposo absoluto con respecto al éter?

Para el caso en el cual el haz luminoso es lanzado a lo largo de la misma dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, la expresión del tiempo total Ttotal de ida y vuelta es:

Ttotal = (2L/c) /(1 - V²/c²)

Ttotal = (2L/c) {1 - V²/c²} -1

Podemos llevar a cabo la expansión de esta expresión mediante una serie infinita recurriendo al teorema del binomio que en su forma más general es enunciado de la siguiente manera:

(a + x) n =

an + nan-1x + {n(n-1)/2!} an-2x² + {n(n-1)(n-2)/3!} an-3x3 + ...

Cuando a=1 y cuando el exponente n es -1 por tratarse de un inverso, el teorema del binomio se reduce a:

(1 - x) -1 = 1 + x + x² + x3 + x4 + x5 + ... __para x ≤ 1

(La condición x ≤ 1 se cumple aquí porque suponemos que el aparato está viajando a una velocidad V menor que la velocidad de la luz c sin suponer efecto relativístico alguno.)

Con esta expansión tenemos:

(1 - V²/c²) -1 = 1 + V²/c² + O(V/c)2

en donde O(V/c)2 significa “los Otros términos residuales de la serie obtenidos con exponentes de orden 2 y mayor”.

Por lo tanto el tiempo de ida y vuelta será aproximadamente igual a:

Ttotal ≈ (2L/c) (1 + V²/c²)

Para el caso en el cual el haz luminoso es lanzado en una dirección perpendicular a la dirección en la cual está soplando el “viento del éter”, la expresión del tiempo total Ttotal de ida y vuelta es

Ttotal = (2L/c) / √ 1 - V²/c²

Ttotal = (2L/c) {1 - V²/c²}

Usamos nuevamente el teorema del binomio haciendo a=1 cuando el exponente es el exponente fraccionario negativo -½, con lo cual tenemos:

(1 - x) = 1 + (½) x + O(x)2 __para x ≤ 1

Por lo tanto el tiempo total de ida y vuelta para el caso perpendicular será:

Ttotal ≈ (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)}

La diferencia entre Ttotal y Ttotal es entonces (obsérvese que Ttotal es mayor que Ttotal):

ΔT ≈ Ttotal - Ttotal

ΔT ≈ (2L/c) (1 + V²/c²) - (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)}

Simplificando:

ΔT ≈ LV² / c3

Un observador privilegiado que se encuentre en absoluto reposo con respecto al éter tendrá una velocidad V igual a cero, y el tiempo total de ida y vuelta será Tprivilegiado = 2L/c. Puesto que esta relación es diferente de las relaciones obtenidas por otro experimentador que está en movimiento con respecto al éter, hay una asimetría entre el observador privilegiado y todos los demás observadores. reflejada en diferencias medibles entre experimentos llevados a cabo con el mismo aparato por distintos observadores.

Comparando los tres tiempos a un primer orden de aproximación:

Ttotal ≈ (2L/c) (1 + V²/c²)

Ttotal ≈ (2L/c) {1 + (½) (V²/c²)}

Tprivilegiado = 2L/c

comprobamos que, en todos los casos, el menor tiempo posible de recorrido será precisamente el que mida un observador privilegiado que esté en absoluto reposo con respecto al éter en cuyo caso por tener V = 0 tanto Ttotal como Ttotal se reducen a 2L/c. Esto, en principio, nos dá una forma teórica y experimental de poder saber si estamos en reposo absoluto con respecto al hipotético éter.

Michelson supuso, al igual que otros científicos de su tiempo, que la Tierra por sus movimientos de rotación y traslación alrededor del Sol no estaba permanentemente en reposo con respecto al éter, y si acaso lo estaba ello sería por un instante brevísimo. Debía ser posible detectar el desplazamiento de la Tierra a través del éter. El aparato que diseño se basó precisamente en la diferencia de tiempos ΔT que esperaba obtener entre dos rayos de luz, uno arrojado en la posible dirección paralela al “soplo del viento del éter” y el otro arrojado en una dirección perpendicular, juntando dichos haces de luz para detectar la variación producida en un patrón de interferencia luminosa. Dada la enorme dificultad en hacer las dos trayectorias (la paralela y la perpendicular) de la misma longitud L a la precisión requerida, el patrón de interferencia producida por los dos haces luminosos al llegar desfasados al detector era observada y entonces el aparato completo era girado 90 grados. Esta rotación debería de producir para cada haz luminoso la diferencia de tiempo dada por:

ΔT ≈ LV² / c3

Esta diferencia de tiempo ΔT es equivalente a una diferencia de trayectoria de 2cΔT. De acuerdo con los principios de la óptica ondulatoria, las franjas de interferencia observadas en la primera orientación de la mesa giratoria deberían recorrerse en el detector por una cantidad ΔN de franja igual a:

ΔN = 2cΔT/λ

ΔN = (2L/λ) (V²/c²)

en donde λ es la longitud de onda de la fuente luminosa monocromática.

Cuando llegó el día de llevar a cabo la primera realización del experimento en 1881, la distancia L en la mesa giratoria era de unos 1.2 metros y la longitud de onda de la señal luminosa utilizada era de λ = 5.9·10-7 de metro. Tomando la velocidad orbital de la Tierra alrededor del Sol para una primera aproximación de la velocidad V con respecto al éter, obtenemos una velocidad de unos 30 kilómetros por segundo que viene siendo igual a 10-4c, con lo cual V²/c² es un factor de 10-8, y se esperaba que ΔN fuese igual a un 0.04 de franja. Desafortunadamente, se estimaba que las incertidumbres experimentales eran de un orden de magnitud similar.

De cualquier manera, al efectuar el experimento y en un resultado que lo sorprendió, Michelson no encontró cambio alguno en los patrones de interferencia por más que girase la mesa rotatoria hacia uno y otro lado, con lo cual concluyó que esto era una evidencia de que la Tierra no se estaba moviendo con respecto al éter, aunque el resultado negativo del experimento llevado a cabo por Michelson inicialmente fue tomado por muchos como un fracaso debido a la falta de precisión de los instrumentos utilizados en aquella época en la que no existía ni siquiera la radio comercial. Tiempo después, en 1887, Michelson repitió el mismo experimento con Edward W. Morley, usando un sistema mejorado para girar la mesa circular del aparato sin introducir un desplazamiento en las franjas de interferencia luminosas causadas por tensiones mecánicas en el aparato, y la longitud efectiva de la trayectoria fue elevada de los 1.2 metros originales a unos 11 metros recurriendo a una serie de reflexiones múltiples. Este es el aparato que tenemos descrito arriba. Para este intento, se había calculado que N debería tener un valor de 0.4 de franja, unas 20 ó 40 veces más que el mímino que era posible observar. Y de nueva cuenta, no se encontró corrimiento alguno en las franjas de interferencia al girar la mesa rotatoria hacia uno y otro lado, y en esta ocasión había la certeza de que no se debían a error experimental alguno.. Desde entonces, el mismo experimento ha sido repetido innumerables ocasiones alrededor del mundo, y jamás se ha encontrado corrimiento alguno en las franjas de interferencia.

En un esfuerzo por explicar los resultados negativos obtenidos por Michelson y Morley, el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz formuló conjuntamente con el físico irlandés George Francis Fitzgerald una explicación teórica hecha “justo a la medida”, argumentando que al igual que una masa suave que se mueve en el aire o bajo el agua sufre una ligera deformación por la resistencia que le ofrece el medio en el cual se está desplazando, también la vara de medición que se estuviera moviendo en contra del éter estático sufriría una contracción que por una maravillosa y casi milagrosa coincidencia era justo lo que se necesitaba para compensar con una longitud menor la diferencia de tiempos de traslado que se hubiera esperado detectar a través de los patrones de interferencia observados en el telescopio, explicando con ello los resultados negativos obtenidos en los experimentos. Matemáticamente expresado, la contracción debida al “empuje del viento del éter” reduciría la longitud original L0 de la vara de medición a una longitud menor L dada por:

L = L0 1 - V²/c²

en donde V vendría siendo la velocidad de la regla al estarse moviendo en contra del éter. De acuerdo con ésta fórmula, poniendo números, una vara de medición moviéndose en contra del éter a una velocidad igual a las tres cuartas partes de la velocidad de la luz sería “comprimida” a un 66 por ciento de su longitud original. Esta contracción fue llamada desde que fue propuesta como la contracción Lorentz-Fitzgerald.

La principal objeción que podemos ponerle a esta teoría es que predice una compresión igual en todas las varas de medición independientemente del material del que estén hechas, ya sea de acero inoxidable rígido o de caucho, lo cual por sí solo presiona demasiado los límites de nuestra credibilidad. Pero otra objeción más dura aún a la fórmula de contracción de longitud de una vara de medición dada por Lorentz y Fitzgerald era que carecía de una teoría que justificase la fórmula, se trataba de una fórmula semi-empírica, era simplemente un artificio concebido para explicar los resultados negativos del experimento Michelson-Morley.

Fué solo hasta 1905 cuando Einstein dió a conocer su Teoría Especial de la Relatividad que los resultados negativos del experimento Michelson-Morley tuvieron una explicación teórica rigurosa y satisfactoria: al no existir el éter y por lo tanto al no existir forma alguna de poder detectar el movimiento absoluto de la Tierra con respecto a algo que no fuese su rotación alrededor del Sol y ni siquiera así, la Tierra podía tomarse como un cuerpo en estado de reposo, y al ser tomada como un cuerpo en estado de reposo la velocidad del éter en las fórmulas utilizadas por Michelson y Morley era V=0, con lo cual los resultados negativos del experimento se vuelven inevitables.

En el problema anterior, tenemos tres expresiones diferentes para los tiempos de viaje que obtendríamos para un rayo de luz usando el mismo aparato experimental, Ttotal , Ttotal y Tprivilegiado, tiempos de viaje predichos teóricamente sobre la base de la existencia del éter, capaces de ser confirmados experimentalmente. Y de las tres expresiones anteriores, la más sencilla de todas, la que nos dá T=2L/c, es la que obtendría un observador privilegiado que estuvierse en reposo absoluto con respecto al éter. Esto es algo de naturaleza general. Las leyes de la física adquieren su forma más sencilla posible para un observador privilegiado que esté en reposo absoluto con respecto al éter, un observador para el cual V=0. Para todos los demás observadores, las leyes tendrán fórmulas más complejas como lo acabamos de ver. A este tipo de asimetrías era a las que se refería Einstein en su papel original. La única forma de deshacerse de estas asimetrías es rechazar la hipótesis de la existencia del éter y del movimiento absoluto, que fue precisamente lo que hizo Einstein.

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