miércoles, 18 de marzo de 2009

28D: Los agujeros negros: Evaporación

Caer en un agujero negro tal vez no signifique el fin de todo. Una vez formado un agujero negro, la Relatividad General nos indica que el agujero negro jalará y devorará todo lo que pase lo suficientemente cerca de su influencia gravitacional como para ser engullido. Como un glotón que solo puede crecer y crecer y del cual nada puede escapar, ni siquiera la misma luz, el agujero negro parecería tener garantizada una existencia casi eterna tras la creación del Universo. Esto si nos atenemos únicamente a las ecuaciones de la Relatividad General.

Pero en el Universo no sólo rige la Relatividad General. También rige la Mecánica Cuántica. Y uno de los descubrimientos teóricos más espectaculares en tiempos recientes ha sido el que nos indica que los agujeros negros, lejos de ser eternos, se van evaporando poco a poco:





El tiempo de “evaporación”, se admite de inicio, puede ser extremadamente largo. Pero el sepulturero más grande que hay en el Universo, el agujero negro, tiene a fin de cuentas su propia sepultura esperándolo, su propio fin. Ni siquiera el poderoso agujero negro puede evadir su propia muerte.

Esta historia tiene un principio en el año de 1973, con la visita hecha a Moscú (en los tiempos de la Unión Soviética) por el afamado científico inglés Stephen Hawking, en la cual tuvo un encuentro con los físicos soviéticos Yacob Zeldovich y Alexander Starobinsky, los cuales le hicieron ver que, de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg, los agujeros negros en rotación deberían ser capaces de producir y emitir una radiación de partículas, la cual debería ir disminuyendo la masa del agujero negro con el paso del tiempo hasta que en un momento dado el horizonte de evento dejaría de existir, el momento en el cual a un rayo de luz le sería posible escapar del agujero negro.

De regreso a Inglaterra, Stephen Hawking trabajó sobre los argumentos que le fueron proporcionados por los físicos soviéticos, y al año siguiente, en un trabajo que le fue publicado en la revista Nature titulado “Black hole explosions?”, proporcionó por vez primera los argumentos teóricos que sustentaban las conjeturas que le habían sido proporcionadas por los físicos soviéticos, fundamentando el fenómeno que hoy se conoce como la “evaporación de agujeros negros”. El proceso de emisión de partículas por el cual un agujero negro va perdiendo masa con el paso del tiempo es conocido hoy como la radiación de Hawking.

Quienes no están familiarizados con los temas de los que se está hablando aquí naturalmente se preguntarán: ¿cómo es posible que algo pueda escapar de la atracción gravitacional de un agujero negro? ¿Cómo es posible que un agujero negro pueda emitir una radiación si ni siquiera le permite a la luz escapar del mismo?

Nada puede escapar de un agujero negro dentro del horizonte de evento. Pero fuera del horizonte de evento, cuando no se ha caído al interior, el escape es posible. Y es aquí en donde enfocamos nuestra atención hacia lo que puede ocurrir en la cercanía del horizonte de evento por fuera.

Tal vez una de las aserciones más espectaculares que se puedan escuchar de la Mecánica Cuántica (o mejor dicho, de la Teoría del Campo Cuántico) tiene que ver con la creación de partículas de la nada, salidas del vacío. Por definición, el vacío tiene una energía de cero. La creación de partículas salidas de la nada aparentemente violaría el principio de la conservación de la energía. Sin embargo, esto no ocurriría si estamos dispuestos a admitir algo que de inicio puede parecer sacado de una novela de ciencia ficción, la posibilidad de la existencia de partículas con energía negativa, o lo que es lo mismo, partículas con masa negativa. Supongamos por un momento que tenemos una región pequeña en el espacio-tiempo vacía, en la cual la energía es cero:

0

Supongamos ahora que de repente aparecen dos partículas en esa región, una con una masa positiva m+ y otra con una masa negativa m-. La partícula con masa positiva tiene una energía de reposo convencional igual a E+ mientras que la partícula con masa negativa tiene una energía negativa igual a E- de la misma magnitud. Podemos ver a la partícula m- como una especie de antipartícula de la partícula m+. Al aparecer ambas partículas salidas al mismo tiempo, no se viola el principio de la consevación de la masa-energía porque:

E+ + E- = 0

de modo tal que la masa-energía del Universo entero sigue siendo exactamente la misma que la que había antes de la aparición de estas dos partículas. De acuerdo con cálculos llevados a cabo con la Teoría del Campo Cuántico, estas partículas desaparecen casi tan rápidamente como aparecen en virtud de que se vuelven a juntar aniquilándose mutuamente. Estamos acostumbrados a pensar en que si se junta materia con antimateria se libera cierta cantidad de energía, como cuando juntamos un electrón con un positrón o como cuando juntamos un protón como un antiprotón. Pero tanto el positrón como el antiprotón tienen energías positivas, de modo que al aniquilarse con sus pares toda la energía en reposo de cada par se convierte en energía radiante. En cambio para las partículas creadas espontáneamente salidas de la nada, una de ellas debe tener una energía negativa, lo cual la convierte en una nueva especie de antipartícula, quizá lo que podríamos llamar la verdadera antimateria. Al juntar energía positiva con negativa, se aniquilan dando un balance energético igual a cero, de modo tal que no hay radiación luminosa posible al llevarse a cabo la aniquilación entre ambas.

Por otra parte, tenemos también dentro del panorama una incertidumbre física propia de la Naturaleza, expuesta por vez primera en 1927 por Werner Heisenberg, el principio de incertidumbre de Heisenberg , de lo cual tenemos que hacer un repaso.

El principio de incertidumbre de Heisenberg data de los tiempos en que se aceptó, en base a los resultados obtenidos en numerosos experimentos de laboratorio, la dualidad onda-partícula. Se hace indispensable establecer una distinción clara entre ondas y partículas, por ser estos los únicos dos modos posibles de transmisión de energía. Clásicamente, una partícula material es algo que ocupa una posición bien definida en el espacio, tiene momentum, energía cinética, masa y carga eléctrica, mientras que una onda clásica tiene características tales como longitud de onda, frecuencia, velocidad, amplitud de la perturbación, intensidad, energía y momentum. La diferencia más sobresaliente entre ambas es que la partícula puede ser localizada mientras que la onda se esparce y ocupa una posición relativamente amplia en el espacio. Todas las partículas, incluyendo los fotones, se comportan en ciertas circunstancias como ondas y en otras como partículas. Precisamente en virtud a este comportamiento, hay experimentos en los cuales si intentamos medir cierto parámetro de una partícula habrá otro parámetro que se volverá tanto más incierto conforme midamos uno de ellos con mayor exactitud. De este modo, si queremos medir la posición y la cantidad de movimiento de una partícula atómica, para medir su posición con grados mayores de exactitud tenemos que interactuar con ella alterando irremisiblemente su cantidad de movimiento. No podemos determinar al mismo tiempo la posición de una partícula y su cantidad de movimiento con grados ilimitados de exactitud, el medir uno de ellos introduce una incertidumbre en la medición del otro. Y esto no es algo que tenga que ver con la precisión de los instrumentos utilizados, es algo que tiene que ver con la naturaleza de lo mismo que está siendo medido, es un límite absoluto impuesto por la Naturaleza al que no podemos darle vuelta, el cual tiene una enunciación matemática precisa. El principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que es imposible medir en un solo y mismo experimento variables conjugadas (como la posición y el momentum) con precisión absoluta, y como consecuencia no es posible medir en el mismo experimento los aspectos ondulatorio y corpuscular de la materia. Supongamos que se diseña un experimento para medir las propiedades de partícula de un cuerpo. Entonces necesariamente en este experimento Δx y Δt deben ser cero puesto que una partícula, por definición, puede ubicarse con precisión absoluta en cualquier momento. Pero entonces el momentum y la energía y con ello los aspectos ondulatorios de la partícula (λ = h/p, f = E/h) nos serán completamente desconocidos de acuerdo al principio de incertidumbre. De este modo, cuando se muestran los aspectos de partícula de la materia, la naturaleza ondulatoria necesariamente se suprime. De igual manera, si los aspectos ondulatorios son medidos con exactitud, es decir si hacemos Δλ y Δf igual a cero, Δp y ΔE también lo serán y los aspectos de partícula no serán observados.

Tratándose de la incertidumbre en la posición Δx y de la incertidumbre en la cantidad de movimiento Δp de lo que estamos midiendo, ambas incertidumbres están fijadas por la siguiente relación:

Δp · Δx ≥ h/4π

en donde h es la constante de Planck:

h = 6.626·10-34 Joule·segundo

h = 4.136·10-15 eV·segundo

El principio de incertidumbre de Heisenberg también puede formularse para otras variables conjugadas. Supóngase un experimento en el cual se trata de determinar la energía E en un tiempo t. Un análisis nos demuestra que la incertidumbre ΔE en la medición de la energía está relacionada de la siguiente manera con el intervalo de tiempo Δt en el cual se lleva a cabo la medición:

ΔE · Δt ≥ h/4π

De este modo, la energía de un cuerpo puede conocerse con toda exactitud (ΔE = 0) solamente si la medición se efectúa en un intervalo de tiempo infinito (Δt = ∞). El concepto del vacío absoluto desprovisto de todo rastro de materia y energía entra en conflicto directo con el principio de incertidumbre en virtud de que el vacío total requiere de un valor de energía E = 0, el cual siendo un valor exacto sin incertidumbre alguna no es realizable si se va a llevar a cabo una medición en el vacío en un tiempo finito. Bajo el principio de incertidumbre de Heisenberg, pares de partículas pueden aparecer y desaparecer tan rápidamente como aparecieron sin dejar rastro directo de su existencia, razón por la cual se les conoce como pares virtuales. Y el hecho de que en el vacío que creíamos absoluto se puedan producir estas partículas virtuales es conocido como las fluctuaciones del vacío. A continuación tenemos una “instantánea fotográfica” de lo que supuestamente está ocurriendo a niveles sub-atómicos pequeñísimos debajo de nuestra capacidad experimental actual para poder detectarlo:





En el primer instante de tiempo, de la nada que teníamos en la placa 1 se crean dos partículas sub-atómicas, una con energía positiva y la otra con energía negativa (un segmento considerable de la comunidad científica aún tiene problemas con esto último por ser algo que no puede ser entendido y mucho menos explicado fácilmente), las cuales aparecen en la placa 2. Pero siendo opuestas en todo, inclusive teniendo cargas eléctricas opuestas, dichas partículas se atraen en la placa 3. Y se aniquilan desapareciendo al vacío de donde llegaron, como podemos verlo en la placa 4. Sin embargo, en el proceso del “aniquilamiento” del par, no hay liberación alguna de energía, no hay producción alguna de fotones, porque como una de las partículas tenía energía positiva y la otra tenía energía negativa, al juntarse las energías de ambas la energía total es cero. De cualquier modo, como hasta la fecha no tenemos instrumento científico alguno que nos pueda medir algo con contenido energético combinado total de cero exponiendo del mismo algo que posea energía negativa, estas partículas nos parecen tan fantasmagóricas como el resto del Universo que no alcanzamos a ver con nuestros telescopios pero que sospechamos que está allí. Esta producción de pares de partículas no debe ser confundida con la creación de pares estudiada en la entrada titulada “Física atómica relativista” en la cual se crean dos partículas, un electrón y un positrón, a partir de un proceso de conversión relativista de energía en materia que requiere de un fotón de alta energía para llevarse a cabo. En aquél caso, el proceso de creación de pares no puede llevarse a cabo sin el fotón. Pero en este caso que nos ocupa, no se requiere de fotón alguno. En aquél caso, las partículas creadas eran totalmente reales y detectables en experimentos de laboratorio. Pero en este caso, las partículas virtuales teniendo una de ellas una energía negativa parecen ser más bien conclusiones (o ilusiones) creadas a partir de las herramientas matemáticas utilizadas en la Teoría del Campo Cuántico. Si hemos de creerle a las matemáticas empleadas en nuestros razonamientos, vivimos en un verdadero “mar” de partículas virtuales apareciendo y desapareciendo por debajo de nuestro nivel de consciencia como lo muestra el siguiente diagrama espacio-tiempo (en el cual cada partícula creada de la nada es mostrada de color azul mientras que su respectiva antipartícula es mostrada de color rojo):





PROBLEMA: Demostrar, a partir del principio de incertidumbre de Heisenberg, que la vida Δt de un par de partículas virtuales creadas a partir de las fluctuaciones del vacío, suponiendo que cada una de ellas está actuando como un fotón, está dada por:

Δt = 1/8πf

siendo f la frecuencia característica de cada fotón.

Utilizaremos el principio de incertidumbre de Heisenberg en su condición de igualdad:

ΔE Δt = h/4π

Δt = h/4πΔE

La energía de un fotón de luz, de acuerdo a la Mecánica Cuántica, está dada por E = hf, mientras que la energía de un par de fotones será el doble, con lo cual ΔE = 2hf. Substituyendo esto en la condición de Heisenberg:

Δt = h/4π(2hf)

Δt = 1/f

PROBLEMA: Un fotón que produzca en la retina luz de color naranja tiene una longitud de onda de 600 nanometros. Estimar la duración de un par de partículas virtuales que sean fotones de color naranja.

Para un fotón c = fλ, de donde obtenemos la frecuencia correspondiente como:

f = c/λ = (300,000,000 metros/seg)/(600·10-9 metro)

f = 5·1014 Hertz = 500 Terahertz

De la fórmula obtenida tenemos:

Δt = 1/f = 1/(8π·5·1014) ≈ 8·10-18 segundo

Δt ≈ 8·10-17 segundo ≈ 80·10-18 segundo ≈ 80 attosegundos

Como puede verse, el tiempo de vida para un par de partículas virtuales es extremadamente breve.

Aunque las partículas virtuales parecen ser indectectables y parecen ser meras explicaciones o justificaciones teóricas dadas a varias técnicas matemáticas utilizadas tanto en la Teoría del Campo Cuántico como en la Electrodinámica Cuántica, durante el brevísimo tiempo en el que aparecen estas partículas virtuales se vuelven partículas reales y dejan huella. La existencia de las partículas virtuales fue confirmada por vez primera en 1947 a través de un efecto conocido como el desplazamiento Lamb (Lamb shift). En el átomo de hidrógeno, de acuerdo con la Electrodinámica Cuántica, el protón en el núcleo así como el electrón que lo circunda están ligados juntos por fotones (el quantum del campo electromagnético). Cada fotón vivirá cierto tiempo como un electrón virtual junto con su antipartícula, un positrón virtual. De acuerdo con la Mecánica Cuántica clásica, el átomo de hidrógeno tiene dos niveles de energía (conocidos comúnmente como orbitales atómicos), el nivel 2S1/2 y el nivel 2P1/2, los cuales deben tener exactamente la misma energía (en este caso estamos citando a Dirac). Sin embargo, cuando el átomo está en uno de esos dos niveles interactúa de modo diferente que cuando se encuentra en el otro nivel, de modo tal que la interacción del electrón con el vacío produce un ligerísimo desplazamiento en el nivel de energía del orbital atómico 2S1/2. Este desplazamiento fue detectado experimentalmente por Willis Lamb y Robert Retherford, los cuales midieron un ligero aumento de 1060 Megahertz (aproximadamente 1 Gigahertz, una frecuencia fácilmente realizable en nuestros días como lo comprueba el uso extendido de los teléfonos celulares que trabajan en esos rangos de frecuencias) del nivel 2S1/2 sobre el nivel 2P1/2:



coincidiendo con el valor predicho teóricamente:



lo cual a su vez proporcionó el ímpetu necesario para la fundación de la Electrodinámica Cuántica emprendida por Julian Schwinger, Freeman Dyson y Richard Feynman (este último famoso por la creación de los diagramas de Feynman que han contribuído a la visualización de la renormalización matemática que permite manejar los términos infinitos que aparecen en las series de perturbación empleadas en la Teoría del Campo Cuántico). Además el desplazamiento Lamb, se ha medido también otro efecto de laboratorio conocido como el efecto Casimir, propuesto por vez primera por el científico holandés Hendrick Casimir en 1948, el cual consiste en lo que parece ser una “fuerza de atracción” entre dos placas metálicas debido no a la atracción gravitacional de las masas de las placas o a la atracción electrostática que pueda haber entre ellas sino al empuje dado a las mismas por las partículas virtuales creadas en el exterior de las placas. Casimir teorizó que si dos placas perfectamente paralelas podían ser aproximadas lo suficiente la una a la otra, el espacio pequeño entre dichas placas estaría libre de todas las partículas con una longitud de onda larga. Esas partículas, sin embargo, podían seguir creándose espontáneamente en el exterior de las placas, creándose una presión detectable contra el exterior de las placas:



demostrándose con ello la existencia de partículas creadas espontáneamente del “espacio libre”:









A continuación tenemos la fotografía de una esferita metálica microscópica en el momento en que está siendo objeto de un desplazamiento hacia el hueco inferior que hay por debajo de ella, ocasionado por el empuje del efecto Casimir:





Así pues, la existencia de las partículas virtuales, aunque no observables directamente, está fuera ya de toda duda por los efectos que su efímera existencia son capaces de producir. Y si las partículas virtuales están creándose continuamente en todas partes en donde suponemos que hay un vacío, también deben estarse creando en las afueras del horizonte de evento de un agujero negro.

Siguiendo el espíritu del diagrama espacio-tiempo de Minkowski, a continuación tenemos una ilustración de lo que ocurre en el proceso de “evaporación” del agujero negro (el radio del cilindro representa el radio del horizonte de evento):





En esta figura tenemos muchos pares de partículas virtuales que se crean espontáneamente fuera del horizonte de evento del agujero negro y se aniquilan mutuamente al poco tiempo de haberse creado, de las cuales nunca llegaremos a saber nada. Dentro del horizonte de evento, tenemos también otro par que se crea y desaparece espontáneamente del cual tampoco llegaremos a saber nada. Pero en la figura podemos ver que hay tres pares de partículas que se crearon espontáneamente cerca (y fuera) del horizonte de evento. En cada uno de estos tres pares una de las partículas con energía negativa E- traspasa el horizonte de evento yéndose al interior del agujero negro, mientras que la otra con energía positiva E+ empieza un viaje solitario alejándose del horizonte de evento:





La partícula que cae dentro del horizonte de evento tiene el equivalente de un déficit de energía por el simple hecho de ser una partícula con energía negativa E-, lo cual el agujero negro tiene que compensar disminuyendo su propia masa-energía. Esto, efectivamente, es una evaporación paulatina del agujero negro conforme el proceso se va repitiendo en grandes cantidades.

A continuación veremos cuánta energía puede extraer un par de partículas virtuales de un agujero negro. Puesto que la única cosa que puede salir hacia fuera del radio de Schwarzschild desde el interior de un agujero negro es la gravedad, la radiación de Hawking debe depender de alguna manera de la gravedad.

Clásicamente, cuando algo es acelerado por efectos de la gravedad, gana energía de movimiento, energía cinética, la cual es proporcional a la masa del objeto y la distancia a lo largo de la cual es acelerado. Tratándose de un fotón que de acuerdo a la Teoría de la Relatividad sólo puede desplazarse a la velocidad de la luz, no puede acelerarse pero su frecuencia sí puede cambiar dándole con ello una mayor energía.

Si una masa m cae una altura d al estar bajo la acción de un campo gravitacional, la energía que adquiere será igual a la diferencia que hay en la energía potencial a través de esa distancia d:

E = mgd

En realidad esta no es una relación exacta porque la gravedad varía de acuerdo con la distancia radial hacia el centro de la atracción. De cualquier modo, puesto que los fotones virtuales tienen un tiempo de vida muy corto (de acuerdo con el cálculo aproximado que hicimos arriba), no llegarán muy lejos y podemos considerar a la gravedad aproximadamente constante, permitiéndonos el uso de esta fórmula. Puesto que los fotones se mueven siempre a la velocidad de la luz, la distancia recorrida por un fotón virtual en el transcurso de su corta vida será d = cΔt. Ya vimos arriba que el tiempo aproximado de vida de un fotón virtual será Δt = 1/8πf. Entonces:

d = c/8πf

Poniendo esto en la fórmula de arriba obtenemos:

E = mg(c/8πf) = mgc/8πf

Clásicamente también, de la fórmula Newtoniana F = GmM/r² para la atracción gravitacional entre dos cuerpos de masa m y M obtenemos lo siguiente con la ayuda de la definición Newtoniana de la fuerza como F = ma con una aceleración a = g:

a = g = GM/r²

Uno de los fotones virtuales tiene que caer dentro del agujero negro a fin de que se produzca la radiación de Hawking, de modo tal que ambos se tienen que originar cerca del radio de Schwarzschild, el cual es rs = 2GM/c². Como una aproximación podemos tomar el radio de Schwarzschild como la distancia r entre el par de fotones virtuales y el agujero negro. Entonces:

g = GM/r² = GM/(rs)² = GM/(2GM/c²) = c4/4GM

Poniendo esto en la fórmula anterior:

E = mgc/8πf = [m(c4/4GM) c]/8πf

E = mc5/32πGMf

Ahora intentaremos substituír el valor de la masa m recurriendo a la fórmula clásica de la Teoría Especial de la Relatividad E = mc², de la cual obtenemos m = E/c². La energía para un solo fotón está dada por E1 = hf, mientras que para dos fotones está dada por E2 = 2hf, con lo cual obtenemos m = 2hf/c². Poniendo esto en la fórmula de arriba obtenemos:

E = m (c5/32πGMf) = (2hf/c²) (c5/32πGMf)

E = hc3/16πGM

Esta es nuestra fórmula para la energía de un fotón que resulta de la radiación de Hawking. Puesto que esta relación nos dice que la energía es inversamente proporcional a la masa M del agujero negro, entonces una partícula emitida por un agujero negro tiene tanto más energía cuanto mas pequeño sea el agujero negro, lo cual podrá parecer sorprendente a muchos.

Los cálculos iniciales llevados a cabo a principio de los setentas para la creación de partículas virtuales justo en el exterior del horizonte de evento de un agujero negro consideraron que para que este fenómeno ocurriera el agujero negro tenía que ser un agujero negro dinámico, tenía que estar en rotación, pero la mayor sorpresa estaba aún por venir.

En 1974, Stephen Hawking efectuó cálculos meticulosos del proceso de creación de partículas que ocurre durante el proceso del colapso gravitacional que transforma a una estrella en un agujero negro. Aún en el caso de un agujero negro sin rotación colapsándose hacia un agujero negro Schwarzschild, estático, nosotros esperaríamos que ocurriese alguna creación de partículas durante la fase dinámica del colapso en virtud del intenso y variante campo gravitacional. Y en el caso de una estrella en rotación colapsándose para formar un agujero negro en rotación, también esperaríamos que se llevase a cabo en forma constante la creación de partículas de la manera en que se ha señalado arriba. Pero en el caso del colapso hacia un agujero negro estático, sin rotación, no se esperaba creación alguna de partículas después de haber ocurrido el proceso del colapso. Sin embargo, esto no es lo que Hawking encontró al llevar a cabo sus cálculos detallados. Encontró que para tiempos posteriores al colapso gravitacional propio de un agujero negro estático, la razón de emisión de partículas hacia el espacio exterior no caía a cero sino que se estabilizaba en cierto valor. Y la sorpresa mayúscula resultó ser que esta razón de emisión de partículas se correspondía exactamente con el proceso de radiación de lo que clásicamente se conoce en termodinámica como la radiación del cuerpo negro (el término no tiene nada que ver aquí con los agujeros negros). Todos estamos familiarizados de alguna manera con este tipo de radiación térmica. La hemos visto cuando vemos los videos de la lava de un volcán cayendo por sus laderas, cuando vemos las brasas de carbón al hacer una carne asada a la parrilla, o cuando vemos un metal calentado “al rojo vivo”:





Esta radiación térmica no es precisamente una radiación que ocurra a una sola frecuencia del espectro visible. Es una radiación que contiene toda una gama de frecuencias que van inclusive más allá del infrarrojo y del ultravioleta, y lo que ven nuestros ojos es un “compuesto” del espectro de radiación interpretándola (erróneamente) como si fuese luz de un solo color. A continuación tenemos el espectro de radiación emitido por un cuerpo que se encuentra a una temperatura de 6000 grados Kelvin:





Lo interesante de esta radiación térmica es que todos los cuerpos emiten exactamente la misma radiación a la misma temperatura independientemente del material del que están hechos, ya sea carbón, níquel, cobre, cobalto, oro o uranio. Con el objeto de que en la determinación experimental en el laboratorio de este espectro característico de radiación térmica no haya distorsión alguna ocasionada por la luz incidente del exterior (la cual posee también su propio espectro característico), se acostumbra preparar un bloque hueco con una cavidad en su interior haciendo un pequeño agujerito para permitirle a la radiación que se genere dentro de dicha cavidad el poder escapar hacia el exterior en estado “puro” en donde puede ser medida con la ayuda de espectrómetros. El hecho de que la cavidad interior no reciba luz alguna del exterior siendo por lo tanto “negra” es lo que ha hecho que a la radiación generada dentro de dicha cavidad que escapa hacia el exterior por el agujerito se le denomine “radiación del cuerpo negro”.

En principio, no solo fotones luminosos sino toda clase de partículas pueden ser emitidas de la cavidad interior de un “cuerpo negro”, pero a menos de que la temperatura sea extremadamente elevada (alrededor de mil millones de grados centígrados) la emisión de partículas con masa que será observada será prácticamente nula y lo único que observaremos serán fotones.

La radiación térmica del cuerpo negro es el resultado de las interacciones de los átomos al interior de un cuerpo que producen una distribución característica de fotones a cierta temperatura que no depende de la naturaleza detallada de las interacciones, y por lo tanto este proceso es de una naturaleza completamente al proceso de emisión de partículas de un agujero negro. Sin embargo, la emisión de partículas de un agujero negro estático de masa M es idéntica en todos sentidos a la radiación de un cuerpo negro puesto a una temperatura T.

A continuación se llevará a cabo una derivación tentativa de una expresión que corresponda a la temperatura T de un agujero negro que está en proceso de evaporación.

Tomaremos como base el hecho de que la energía térmica promedio E para un fotón (y en general para cualquier partícula) producido por la radiación de un cuerpo negro, expresada en función de la constante de Boltzmann k, está dada por:

E ≈ 2.821439372 kT

siendo la constante numérica 2.821439372 el resultado a la ecuación trascendente:

3 (1 - e-x ) = x

Suponiendo que esta energía es igual a la magnitud de la energía puesta para la creación de un par de partículas, podemos igualar E con la energía E que obtuvimos arriba:

E = E

2.821439372 kT = hc3/16πGM

Despejando y poniendo lo anterior en función de la temperatura, tenemos entonces:

T = hc3/16(2.821439372)(π)GM

Esta fórmula no está muy alejada de la fórmula obtenida por Hawking recurriendo a argumentos mucho más elaborados que caen dentro del ámbito de la Teoría del Campo Cuántico, ya que en la fórmula exacta para la temperatura de un agujero negro de masa M considerado como un radiador térmico por la emisión de partículas resulta ser la siguiente (reemplazándose el factor numérico 2.821439372 por π):



siendo por lo tanto el margen de error con la aproximación que obtuvimos relativamente moderado.

El hecho de que todo agujero negro debe poseer cierta temperatura fue demostrado por Jacob Bekenstein en 1972, dos años antes de que Hawking demostrase la existencia de la radiación de partículas que lleva su nombre a través del mecanismo de creación de partículas virtuales justo afuera del horizonte de evento de un agujero negro.

La pregunta ahora es: ¿la extraordinaria coincidencia entre el espectro de emisión de partículas de un agujero negro y el espectro de radiación electromagnética de un cuerpo negro es simplemente una increíble coincidencia, o hay detrás de esto alguna importante razón de fondo que se nos está escapando y que aún no alcanzamos a comprender? Recuérdese que antes de que hicieran su aparición los reactores nucleares y las bombas atómicas Einstein ya había anticipado una equivalencia entre la materia y la energía a causa de la Teoría Especial de la Relatividad, y si esto no hubiera ocurrido entonces de cualquier manera habríamos obtenido empíricamente la fórmula E = mc², y sin poder darle una explicación teórica a dicha fórmula nos encontraríamos en la misma situación que en la que hoy nos encontramos al sospechar que detrás del extraordinario parecido entre el espectro de emisión de partículas de un agujero negro y el espectro de radiación electromagnética de un cuerpo negro hay toda una teoría novedosa y radical que está en espera de ser desarrollada por otro Einstein, quizá por alguien que esté leyendo esto.

PROBLEMA: Utilizando los valores experimentales de las constantes físicas fundamentales, simplificar la fórmula que dá la temperatura de un agujero negro de masa M.

Manteniéndonos dentro de un sistema consistente de unidades, el sistema MKS, las constantes físicas que debemos utilizar son las siguientes:

h = 6.626·10-34 metro² · kilogramo/seg

c = 299, 792, 458 metros/seg

k = 1.38065·10-23 metro² · kilogramo/seg² · °K

G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg²

Entonces:

T =_______________________
[(6.626·10-34)(299, 792, 458)3]/[16π²(1.38065·10-23)( 6.674215·10-11)M]

T ≈ (1.227·1023 /M) °K

Frecuentemente esta fórmula es expresada dando la masa en función de masas solares, usando la masa del Sol como múltiplo. Puesto que la masa del Sol M es:

M = 1.98892·1030 kilogramos

entonces podemos escribir la fórmula expresada en masas solares como:

T ≈ (6·10-8 /M) °K

PROBLEMA: Sabiendo que la luminosidad de un cuerpo negro está dada por la fórmula Stefan-Boltzmann:

L = σAT4

en donde σ es la constante de Stefan-Boltzmann:

σ = 2 π5 k4 /15 h3

σ = 5.6704·10-8 watts / metro² · °K4

y que A es la superficie del cuerpo radiante, derivar una fórmula apropiada para la luminosidad de un cuerpo negro.

La superficie relevante para la radiación de Hawking es el área superficial de una esfera con un radio igual al radio de Schwarzschild rs, porque allí es donde se origina la radiación. Entonces:

A = 4 π r² = 4 π (rs)² = 4 π (2GM/c²)² = 16πG²M²/c4

Podemos poner esto en la relación para la luminosidad:

L = σAT4 = (2 π5 k4 /15 h3 c²)(16πG²M²/c4 ) T4

L = (32 π6 k4 G² M²/15 15 h3 c6) T4

Pero la fórmula para la temperatura T es la que tenemos arriba, lo cual nos conduce a lo siguiente:

L = (32 π6 k4 G² M²/15 15 h3 c6) (hc3 /16 π² kGM)4

L = (32 π6 k4 G² M²/15 15 h3 c6)(h4 c12/256 π8 k4 G4 M4)

L = h c6/30720 π² G²M²

Manteniéndonos dentro de un sistema consistente de unidades, el sistema MKS, la fórmula obtenida se puede escribir de la manera siguiente:

L ≈ (3.568·1032/M²) watts · Kg²

PROBLEMA: ¿Cuál será la luminosidad para un agujero negro que tenga el tamaño de la Tierra?

Tomando para la Tierra una masa de M = 5.9742·1024 Kilogramos, la luminosidad será:

L ≈ (3.568·1032)/(5.9742·1024 Kg)²) watts · Kg²

L ≈ 10·10-18 watts

PROBLEMA: ¿Qué tan masivo será un agujero negro que posea la misma luminosidad que nuestro Sol?

La luminosidad de nuestro Sol no es la de un cuerpo negro clásico que siga las normas de la termodinámica convencional, ya que su energía radiante depende de procesos de fusión nuclear que liberan una cantidad de energía mucho mayor que la que sería liberada sin esos procesos de fusión nuclear. Consultando Internet, encontramos que la luminosidad de nuestro Sol es:

L ≈ 3.839 · 1026 watts

Ya vimos que la luminosidad que corresponde a un agujero negro es:

L ≈ (3.568·1032/M²) watts · Kg²

de donde, haciendo L = L:

M ≈ √3.568·1032/L

M ≈ √3.568·1032/L

M ≈ √[3.568·1032/3.839·1026]

M ≈ 964 kilogramos

Un agujero negro de tan solo 964 kilogramos tendría la misma luminosidad que la de nuestro Sol, pese a tener un diámetro de tan solo 2.85·10-24 metros (estamos hablando de un diámetro que corresponde a un radio de Schwarzschild). Sin embargo, no sería visible, en virtud de que la radiación de un agujero negro con estas características sería una radiación de rayos gamma letales.

Estamos ahora en condiciones de llevar a cabo la derivación de una fórmula que nos pueda dar el tiempo de vida de un agujero negro. Podemos empezar considerando que la potencia de la radiación de Hawking es esencialmente igual a la luminosidad del agujero negro:

P = L = hc6/30720 π² G²M²

Por otro lado, la energía que está siendo perdida por el agujero negro es la misma que la energía que está siendo transportada por la radiación de Hawking a una razón dada por:

P = - dE/dt

en donde el signo menos se ha introducido para indicar que la energía radiada hacia afuera es una energía que está siendo perdida, que está disminuyendo en lugar de aumentar. Usando ahora la equivalencia relativista entre la masa y la energía vemos que:

E = Mc²

dE = c² dM

Por lo tanto:

P = - dE/dt = - d(c² dM)/dt = -c² dM/dt

Igualando esto a la expresión para la potencia de la luminosidad:

hc6/30720 π² G²M² = -c² dM/dt

- (hc4/30720 π² G²) dt = M² dM

Para fines de simplicidad, agruparemos el factor que está en el lado izquierdo dentro de una gran constante que llamaremos K, con lo cual tenemos lo siguiente:

- K dt = M² dM

Ahora vamos a llevar a cabo una integración elemental. Conforme el agujero negro se va evaporando lentamente, su masa cae desde una masa inicial M0 hasta una masa igual a cero cuando el agujero negro se ha “evaporado” totalmente y no queda ya nada de él. El tiempo requerido para la evaporación empieza desde un tiempo igual a cero hasta llegar a un tiempo t1 que es el tiempo límite de vida requerido para la evaporación. Integrando ambos lados de la ecuación:



Por lo tanto, el tiempo de vida “útil” de un agujero negro será no mayor de:

t = M03/3K

en donde la “gran constante” K al ser evaluada tiene un valor igual a 3.98·1015 kg3/segundo.

PROBLEMA: ¿Cuál sería la vida máxima de un agujero negro que tuviese la misma masa que la de nuestro Sol?

Usando la fórmula obtenida:

t = M3/3K = (1.98892·1030 kg)3/(3)·(3.98·1015 kg3/segundo)

t = 6.60·1074 segundos ≈ 2·1067 años

Considerando que el Universo en el que vivimos es relativamente joven, con una edad de tan solo entre 13 y 14 mil millones de años, podemos ver que un agujero negro que tenga la misma masa que nuestro Sol tendrá una vida mucho mayor que la lleva acumulada nuestro Universo.

La fórmula obtenida nos dice que el tiempo de vida de un agujero negro es proporcional al cubo de su masa M. Esto nos dice que un agujero negro grande toma un tiempo considerablemente mayor para evaporarse que un agujero negro de menor tamaño, y a causa de la misma fórmula el proceso de evaporación se acelerará conforme el agujero negro vaya perdiendo masa disminuyendo aún más su tiempo de vida, cayendo por lo tanto el proceso en una espiral viciosa que va acelerando el fin del agujero negro. Por otro lado, repasando la fórmula para la temperatura de un agujero negro, podemos ver que conforme el agujero negro va perdiendo masa su temperatura irá aumentando en forma inversamente proporcional, de modo tal que cuando sea muy pequeño lo más probable es que el agujero negro se “quemará” explotando en un estallido estruendoso y gigantesco que sin lugar a dudas será notado de alguna manera por los vecinos del moribundo cósmico.

Apelando al principio de equivalencia de la Relatividad General que nos dice que estar en reposo en un campo gravitacional es equivalente a estar en un marco de referencia acelerado, concluímos que debe existir un efecto análogo a la radiación de Hawking para un observador que experimenta una aceleración comparable a la que experimentaría en la cercanía del horizonte de evento de un agujero negro, máxime que el proceso cuántico de creación de partículas virtuales es algo que ocurre en todos los confines del Universo y no sólo en el borde de un agujero negro. La posibilidad de este efecto fue propuesta por William Unruh en 1976, razón por la cual se le conoce como el efecto Unruh. Este efecto, para el cual no necesitamos de la cercanía de un agujero negro, es la predicción de que un observador que se está acelerando observará una radiación térmica (de cuerpo negro) en donde un observador en reposo no la detectará:





De este modo, el trasfondo parecerá “caliente” desde el punto de vista del marco de referencia de un observador que se está acelerando, o puesto de otra manera, un termómetro que esté siendo agitado rápidamente (sometido a aceleraciones intensas) medirá, en el vacío absoluto de un marco de laboratorio puesto a una temperatura de cero grados, una temperatura diferente de cero. En una forma similar a como ocurre con la radiación de Hawking, el efecto Unruh es causado por las fluctuaciones del vacío cuando el observador se encuentra en un marco de referencia acelerado.

Para aceleraciones muy bajas, la longitud de onda emitida por la radiación de Unruh sería tan larga que una longitud de onda completa sería mayor que la extensión del Universo conocido. Las bajas aceleraciones generarían, por lo tanto, ondas que no tienen efecto alguno sobre el cuerpo de un observador acelerado. Sin embargo, un cuerpo con aceleración moderadamante elevada lentamente puede ir superando un umbral de aceleración en el cual la radiación Unruh decrementa su longitud de onda a una menor que la extensión del Universo conocido, provocando esta aceleración un “impulso” diminuto pero medible. De este modo, si un cuerpo es acelerado, éste observará radiación de un cuerpo negro en una zona en la que un observador inercial no lo observará. Se debe recalcar que se trata de un efecto cuántico de principio a fin.

A partir de las coordenadas Rindler se puede derivar sin mucha dificultad la expresión para la temperatura T debida a la radiación Unruh, que para un observador que se está desplazando localmente con una aceleración a resulta ser:



En base a esta relación, la temperatura Unruh del vacío vista por un observador que está sujeto a una aceleración igual a la de la superficie de la Tierra (9.8 m/seg²) es igual a 4·10−20 °K, un valor demasiado cercano al cero absoluto. De ser posible obtener en un laboratorio aceleraciones de hasta 1026 m/seg², esto nos produciría un efecto Unruh considerablemente mayor, igual a 400,000 °K. Desafortunadamente el obtener aceleraciones de esta magnitud inclusive por un período de tiempo brevísimo sobre una partícula pequeñísima es algo que está fuera del alcance de nuestras posibilidades actuales.

Se puede obtener más información en la Wikipedia acerca de las partículas virtuales, el desplazamiento Lamb, el efecto Casimir, la evaporación de los agujeros negros y el efecto Unruh en los enlaces indicados dentro de la Bibliografía puesta al final de esta obra.

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