miércoles, 18 de marzo de 2009

La solución de Schwarzschild I

La solución de Schwarzschild a las ecuaciones de campo de Einstein debe ser considerada el más importante logro de la Relatividad General en el campo de la Mecánica Celeste, porque es una solución exacta a las ecuaciones de campo que se corresponde históricamente con el resultado Newtoniano de la inversa del cuadrado de la fuerza de atracción universal de la teoría gravitacional clásica.

Las ecuaciones de campo de Einstein para el espacio libre son no-lineales y por lo tanto muy complicadas, siendo difícil obtener soluciones exactas. Hay, sin embargo, un caso especial que puede resolverse sin muchas dificultades, el caso de un campo simétricamente esférico y estático producido por un cuerpo esféricamente simétrico en reposo.

El punto de partida usual para una demostración como la que llevaremos a cabo será la métrica general utilizada en el 4-espacio de la Relatividad General, aplicándose como siempre la convención de sumación sobre los índices repetidos:

ds² = gαβ dxα dxβ

en el sistema de cuatro coordenadas generalizadas (x0 ,x1 ,x2 ,x3). La forma límite del elemento de línea ds² para un espacio-tiempo plano a grandes distancias del origen (r→∞) debe ser Lorentziana, y de acuerdo a lo que vimos al estudiar la Teoría Especial de la Relatividad lo debemos escribir como:

ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz²

En pocas palabras, la Teoría Especial de la Relatividad es un caso especial de la Relatividad General cuando la curvatura del espacio-tiempo se reduce a cero a grandes distancias. Esta expresión la podemos escribir mediante coordenadas esféricas como:

ds² = c²dt² - (dr² + r² dθ² + r² sen² θ dφ²)

Para construír nuestro elemento de línea ds² que corresponde a la solución de Schwarzschild válida a distancias cercanas al origen de un campo estático, esperamos que dicho elemento de línea permanezca invariante bajo una inversión del intervalo de tiempo dt; esto es, ds² debe permanecer igual al cambiar dt por -dt, ya que la condición estática nos permite utilizar un sistema de coordenadas estático en donde los componentes gμν de la métrica son independientes de la coordenada tiempo (t = x0). Esto nos dicta el uso de coordenadas curvilíneas en las cuales los elementos g0i “fuera de la diagonal principal” sean cero y que el elemento de línea tenga la forma:

g00(dt)² + gik dxi dxk

siendo los gik independientes de la coordenada tiempo t = x0. Nos referimos a esto como una métrica estática, la cual debe ser distinguida de una métrica que es meramente independiente del tiempo o estacionaria (como la métrica para las coordenadas cilíndricas en un espacio de tres dimensiones).

Por otra parte, si no habrá una dirección angular preferida en el espacio, el elemento de línea ds² debe ser independiente de un cambio de dθ a -dθ y de un cambio de dφ a -dφ. Esto requiere que no haya términos “cruzados” en la métrica tales como dr·dθ, dθ·dφ y dr·dφ, de modo tal que el tensor métrico debe ser completamente diagonal para el tipo de solución que estamos buscando. La forma más general que se sujeta a las condiciones arriba viene siendo la siguiente:

ds² = Ac²dt² - (Bdr² + Cr² dθ² + Dr² sen² θ dφ²)

En virtud de nuestras suposiciones de simetría radial, las funciones A, B, C y D deben ser funciones únicamente de la coordenada radial r:

A = A(r)____B = B(r)____C = C(r)____D = D(r)

Podemos llevar a cabo una simplificación adicional recurriendo a argumentos de simetría: podemos suponer que las funciones C(r) y D(r) son iguales. Esto lo podemos visualizar de la manera siguiente: un desplazamiento de arco ε = rdθ desde el polo norte corresponde a un intervalo en el elemento de línea ds² = -Cε², y un desplazamiento de arco ε = rdφ a lo largo del ecuador corresponde a un intervalo en el elemento de línea ds² = -Dε². Si θ y φ representan coordenadas angulares, esperaríamos que estas cantidades fueran iguales por isotropía, lo cual requiere que C sea igual a D. Entonces esta condición de simetría nos simplifica nuestro elemento de línea ds² a la siguiente forma:

ds² = Ac²dt² - Bdr² - C(r² dθ² + r² sen² θ dφ²)

Este elemento de línea representa la forma más sencilla posible dictada por los elementos de simetría. Podemos obtener una simplificación adicional mediante una selección juiciosa de la coordenada radial.

Enfoquemos ahora nuestra atención sobre los coeficientes A y B de la expresión. Tenemos que suponer que estos coeficientes no van a ser necesariamente unas simples constantes numéricas. Tenemos que suponer que van a resultar ser algún tipo de función. Independientemente de qué tipo de expresión resulten ser, de una cosa podemos estar absolutamente seguros: la métrica de Schwarzschild se tiene que reducir necesariamente a la de una métrica plana para un observador en reposo situado en el “infinito” (al usar aquí la palabra “infinito” estamos haciendo alusión a una distancia lo suficientemente grande como para que los efectos ocasionados por la masa sobre el campo gravitacional sean numéricamente insignificantes, ya que de lo contrario el efecto gravitacional ocasionado por un cuerpo se extendería hasta el infinito). Y esta métrica es:

ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz²

En pocas palabras, tanto A como B, ambas funciones de la distancia r (por hipótesis), se tienen que reducir a la unidad a una distancia enorme del cuerpo que ocasiona la curvatura en el espacio tiempo:

A(r) → 1 para r → ∞

B(r) → 1 para r → ∞

No tenemos que batallar mucho para encontrar una función matemática tentativa que se reduzca a la unidad para valores grandes de la variable independiente. Esta función es la función matemática exponencial:

f(x) = ex




Para grandes valores negativos de x, esta función se reduce precisamente a la unidad. La función exponencial tiene además el atractivo de que se puede desarrollar fácilmente mediante series de Taylor. Aunque cualquier función exponencial del tipo abx tiene la propiedad de que se puede reducir a la unidad para valores razonablemente grandes de x, la función exponencial basada en el número e (la base de los logaritmos naturales) tiene además el atractivo de que la derivada de la función exponencial nos resulta esencialmente en la misma función (a excepción del signo), lo cual se puede traducir en posibles simplificaciones.

Con lo anterior en mente, puesto que requerimos que tanto A como B se reduzcan a la unidad para grandes valores de r, le podemos asignar a ambas un carácter exponencial de la siguiente manera con exponentes dependientes de r:

A(r) = eΦ(r)

B(r) = eΛ(r)

Para que se pueda cumplir el requisito de que los coeficientes A y B se reduzcan a la unidad a grandes distancias, esto requiere que los exponentes Φ(r) y Λ(r) se reduzcan a cero a grandes distancias:

Φ(r) → 0 para r → ∞

Λ(r) → 0 para r → ∞

Como el campo gravitacional en torno a una masa simétricamente esférica debe ser también simétricamente esférico, dicho campo debe ser independiente de las coordenadas angulares θ y φ, de modo tal que las posibilidades:

Φ = Φ(t, r, θ, φ)

Λ = Λ(t, r, θ, φ)

deben quedar reducidas necesariamente a:

Φ = Φ(t, r)

Λ = Λ(t, r)

Y como el campo gravitacional, además de ser esféricamente simétrico, también debe ser un campo estático invariante con el tiempo, entonces dicho campo debe ser también independiente de la coordenada temporal t, con lo cual:

Φ = Φ(r)

Λ = Λ(r)

que es precisamente lo que hemos venido manejando.

Las funciones Φ(r) y Λ(r) nos son por el momento funciones desconocidas a ser determinadas. Sin pérdida de generalidad, podemos multiplicar estas funciones por una constante numérica sin cambiar la naturaleza del comportamiento de las funciones a grandes distancias. La constante numérica que más nos conviene es el número 2 para tener así lo siguiente:

A(r) = e2Φ(r)

B(r) = e2Λ(r)

¿Y por qué el número 2? Por el simple hecho de que, si nos fijamos bien en los términos restantes de nuestra métrica preliminar, podemos ver que todos ellos están elevados al cuadrado. La razón por la cual escogemos e y een lugar de comenzar simplemente con eΦ y eΛ es precisamente porque todos los demás términos de la métrica están elevados al cuadrado, y tomar esto en cuenta desde un principio puede resultar en simplificaciones posteriores.

De este modo, la métrica tentativa para un campo simétricamente esférico y estático producido por un cuerpo esféricamente simétrico en reposo tendrá el siguiente aspecto:

ds² = e2Φ(r) (cdt)² - e2Λ(r)dr² - r² dθ² - r² sen² θ dφ²

Una vez definida nuestra métrica tentativa, podemos obtener a continuación los símbolos de Christoffel diferentes de cero que correspondan a esta métrica.

PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel para una hoja cuyo elemento de línea es el siguiente:

ds² = ec²dt² - edr² - r²(dθ² + sen²φ dφ²)

en donde Φ y Λ son funciones únicamente de la coordenada r, o sea:

Φ = Φ(r)___Λ = Λ(r)

Del elemento de línea ds² podemos ver que las 16 componentes gαβ del tensor métrico correspondiente:



son:



Las coordenadas de este espacio cuatri-dimensional son (t, r, θ, φ), y las únicas componentes gαβ del tensor métrico g que no son cero son:

g00 = gtt = e___g11 = grr = - e

g22 = gθθ = - r²___g33 = gφφ = - r² sen² θ

Puesto que la matriz [ gαβ] que agrupa a los componentes del tensor métrico es una matriz diagonal, la matriz [gαβ] que agrupa a los componentes del tensor métrico conjugado también será una matriz diagonal, y sus elementos respectivos serán simplemente los recíprocos de los elementos de la matriz [ gαβ]. Por lo tanto, los únicos componentes del tensor métrico conjugado g-1 que no son iguales a cero son los siguientes:

g00 = gtt = 1/e= e-2Φ___g11 = grr = - 1/e = - e-2Λ

g22 = gθθ = - 1/r²___g33 = gφφ = - 1/(r² sen² θ)

Tenemos toda la información que necesitamos para poder obtener los símbolos de Christoffel para la métrica tentativa que estamos construyendo.

La fórmula general para la obtención de los símbolos de Christoffel es la siguiente (obsérvese la permutación cíclica de los sub-índices de término a término dentro de los paréntesis):

Γαμν = gαβ (- gμν,β + gνβ,μ + gμβ,ν)/2

o bien, escribiendo explícitamente las derivadas parciales haciendo a un lado la notación de la coma:

Γαμν = gαβ (- ∂gμν/∂xβ + ∂gνβ/∂xμ + ∂gμβ/∂xν)/2

Con esta fórmula podemos empezar obteniendo el símbolo de Christoffel para Γ111 = Γrrr:

Γrrr = grr (- ∂grr/∂xr + ∂grr/∂xr + ∂grr/∂xr)/2

Γrrr = {- e-2Λ}{- e·(2Λ’)}/2

Γrrr = Λ’

Puesto que la métrica es una métrica diagonal, en vez de llevar a cabo la evaluación explícita mediante la fórmula general como lo hemos hecho arriba, podemos utilizar las relaciones de cálculo abreviado para una métrica diagonal que son las siguientes (¡en estas fórmulas no se aplica la convención de sumación para índices repetidos!):





Empezaremos con la evaluación del primer símbolo de Christoffel con estas fórmulas abreviadas, el cual será Γtrr. Esta evaluación será relativamente fácil puesto que todos los componentes de la métrica son independientes de la coordenada del tiempo en virtud de que hemos especificado desde el principio a la métrica como una métrica de un campo estático:



Ahora llevaremos a cabo la evaluación del símbolo de Christoffel que corresponde a Γrtt:



Continuamos con la obtención del símbolo de Christoffel Γttr:



El siguiente símbolo de Christoffel que evaluaremos será Γθθr:



Ahora evaluaremos el símbolo de Christoffel Γrθθ:



El siguiente símbolo de Christoffel que evaluaremos será Γφφθ:



Ahora llevaremos a cabo la evaluación de Γrφφ:



Por último, llevaremos a cabo la evaluación del símbolo de Christoffel Γθφφ::



Con los símbolos de Christoffel en nuestras manos podemos proceder a evaluar los componentes del tensor de Riemann de segundo género para la métrica de Schwarzschild mediante la fórmula:



Se recuerda que en esta fórmula para la obtención de las componentes del tensor de Riemann no aplica la convención de sumación para índices repetidos en lo que representa el símbolo del lado izquierdo.

A continuación evaluaremos el componente Rtrtr. Para la obtención del mismo necesitaremos lo siguiente:



Usando estas dos relaciones y utilizando la fórmula para la obtención de los componentes del tensor de Riemann expandiendo en la misma los productos que involucran a los símbolos de Christoffel para los cuales sí se aplica la convención de sumación para índices repetidos, tenemos el siguiente resultado intermedio (los símbolos de Christoffel que son iguales a cero se han puesto de color rojo):



Substituyendo valores en los símbolos de Christoffel tenemos entonces el siguiente resultado intermedio:



Simplificando obtenemos entonces el siguiente resultado final:



En el 4-espacio de la Teoría Relatividad, tenemos un total de 4x4x4x4 = 256 componentes posibles para el tensor de Riemann. Pero ya vimos en una entrada previa que el número total de componentes independientes es de hecho 21. Pero ni siquiera tenemos que calcular todas estas 21 componentes, ya que lo que estamos buscando obtener eventualmente es el tensor de Ricci, y si lo obtenemos con la siguiente contracción tensorial en la cual sí se aplica la convención de sumación sobre el tensor de Riemann mediante índices repeticos:



tenemos entonces que para el tensor de Ricci el cual es un tensor diagonal en este caso hay cuatro componentes del mismo que necesitamos dadas por las siguientes relaciones:



requiriendo para ello únicamente 16 componentes del tensor de Riemann. Reemplazando a las coordenadas generalizadas por las coordenadas específicas a la métrica de Schwarzschild podemos ver mejor los componentes del tensor de Riemann que necesitamos para la obtención de los componentes del tensor de Ricci:



Al llevar a cabo estas evaluaciones, los únicos componentes que no son cero resultan ser los componentes diagonales del tensor de Ricci, que vienen siendo los siguientes (aunque los cálculos que son algo laboriosos no son reproducidos aquí, el procedimiento de cómputo es el mismo que el mostrado en los problemas resueltos puestos en otras entradas previas):



En el vacío, las ecuaciones de campo de la Relatividad General requieren que estas expresiones se desvanezcan para una partícula de prueba suficientemente pequeña (con masa en el caso de una partícula material y sin masa en reposo en el caso de un fotón luminoso) como para que esta no produzca una curvatura en el espacio-tiempo:

R00 = R11 = R22 = R33 = 0

o bien, prescindiendo de las coordenadas generalizadas y usando las coordenadas específicas de la métrica en cuestión:

Rtt = Rrr = Rθθ = Rφφ = 0

Estos desvanecimientos nos imponen la condición:



Como ya se mencionó arriba, a grandes distancias, para grandes valores de r, el espacio debe ser aproximadamente plano, de modo tal que ambos Λ y Φ deben tender a cero para r → ∞:



y entonces:

Λ + Φ = 0

El desvanecimiento de R22 nos resulta en lo siguiente:

(1 + rΦ’ - rΛ’) e-2Λ -1 = 0

(1 + rΦ’ - rΛ’) e-2Λ = 1

Haciendo recurso de la condición Λ’ = - Φ’ obtenida de los otros desvanecimientos tenemos entonces:

[1 + rΦ’ - r(- Φ’)] e-2Λ = 1

(1 + 2 rΦ’) e-2Λ = 1

Substituyendo en el exponente a Λ por - Φ llegamos a lo siguiente:

(1 + 2 rΦ’) e = 1

que puede ser compactado todo como la derivada del producto de dos términos (regla de Leibniz):



Esto se puede integrar de inmediato llevándonos a:

re = r + 2m

siendo m una constante de integración que posee unidades de longitud.

Tenemos entonces recurriendo al valor del componente g00:

g00 = e = (r + 2m)/r

g00 = 1 + 2m/r

Ahora bien, este resultado relativista debe coincidir con la aproximación Newtoniana (clásica, pre-relativista) para grandes valores de r. Comparando la expresión relativista que acabamos de obtener con la expresión Newtoniana para la cual el potencial gravitacional es ∇φ=-GM/r (no confundir el potencial gravitacional φ con el mismo símbolo que usamos para denotar la coordenada angular en el 4-espacio de la métrica esférica):

g00 = 1 + 2φ/r

podemos ver que la constante de integración m es simplemente la masa del cuerpo central que produce el campo gravitacional. Del mismo modo, siendo Λ = - Φ, tenemos que concluír que:

g11 = grr = - e-2Λ = - (1/e)

Substituyendo estas expresiones en el elemento de línea con el que empezamos, esto nos conduce a la siguiente respuesta final para la métrica que estamos buscando para un campo simétricamente esférico y estático producido por un cuerpo esféricamente simétrico en reposo:

ds² = (1 + 2m/r) c²dt² - (1 + 2m/r) -1 dr² - r²(dθ² + sen²θ dφ²)

Como ya se dijo, la constante de integración m tiene unidades de distancia, y es conocida como la masa geométrica del cuerpo central. Restableciendo la constante (el cuadrado de la velocidad de la luz) que habíamos hecho igual a la unidad para no estarla arrastrando innecesariamente a lo largo de la derivación, dimensionalmente tenemos que la masa geométrica en realidad es igual a:

m = GM/c²

Esto quiere decir que la métrica, dimensionalmente correcta, es la siguiente:

ds² = (1 + 2GM/rc²) c²dt² - (1 + 2GM/rc²) -1 dr² - r²(dθ² + sen²θ dφ²)

Esta es la solución matemáticamente exacta a las ecuaciones de campo de Einstein encontrada por Karl Schwarzschild, la cual quedó huérfana al fallecer su descubridor al año siguiente de haberla encontrado.

PROBLEMA: Demostrar que la métrica de Schwarzschild se reduce como un caso especial a la métrica Lorentziana correspondiente a un espacio-tiempo plano.

A grandes distancias del cuerpo que está generando un campo esféricamente simétrico y estático, podemos poner r → ∞ con lo cual tenemos en la métrica de Schwarzschild dos términos que se desvanecen:

ds² = (1 + 2GM/rc²) c²dt² - (1 + 2GM/rc²) -1 dr² - r²(dθ² + sen²θ dφ²)

ds² = c²dt² - dr² - r²dθ² - r²sen²θ dφ²

ds² = c²dt² - (dr² + r²dθ² + r²sen²θ dφ²)

Para la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas Cartesianas rectangulares tenemos lo siguiente:

x = r sen θ cos φ

y = r sen θ sen φ

z = r cos θ

(dx)² + (dy)² + (dz)² = (dr)² + r²(dθ)² + r²sen²θ(dφ)²

Con esto tenemos entonces lo siguiente:

ds² = c² dt² - dx² - dy² - dz²

Esta es precisamente la métrica de Lorentz para un espacio-tiempo plano, propia de la Teoría Especial de la Relatividad.

Todas las métricas que podamos proponer dentro de la Relatividad General para el estudio de espacio-tiempos curvos se deben reducir a la métrica Lorentziana a distancias suficientemente grandes del cuerpo o de los cuerpos que generan los campos gravitacionales que están provocando la curvatura, ya que de no ser así la métrica propuesta es necesariamente una métrica errónea. O puesto en términos más formales, la Teoría Especial de la Relatividad es efectivamente un caso especial de la Teoría General de la Relatividad.

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