miércoles, 18 de marzo de 2009

22: Tensores de orden superior y mixtos

Una vez que hemos definido lo que es un tensor covariante de orden uno y lo que es un tensor contravariante de orden uno, cuyas componentes son diferenciadas la una de la otra únicamente por el uso de sub-índices y super-índices respectivamente, el siguiente paso natural consiste en extender estas definiciones para definir un tensor de orden dos, ya sea T = (Tij) ó T = (Tij), usando dos índices para ello.

Definimos ahora formalmente a un tensor covariante T de orden dos en un espacio de n-dimensiones como todo aquél conjunto ordenado de componentes (Tij) que puedan ser transformados de acuerdo con la siguiente relación:

Tpr = Σ r Σ s (xq/xp) (xs/xr) Tqs____q, s =1, 2, 3, ... , n

Obsérvese que al igual que como ocurrió con el tensor covariante de orden uno, los componentes del tensor covariante de orden dos también son representados mediantes sub-índices. Obsérvese también que la doble sumación nos genera un arreglo de componentes que pueden ser ubicados en una rejilla cuadrada de números, en una matriz. Obsérvese también que tenemos el producto de dos sumaciones, posibilitándose en cada una de ellas el empleo de la convención de sumación por tener repetidos los índices q y s en el doble sumando. Prescindimos, pues, de los símbolos Σ de sumación entendiéndose la sumación implicada en cada caso por el índice repetido:



La definición anterior se puede extender a la de un tensor covariante de orden tres, ó de orden cuatro, ó de cualquier otro orden superior, estableciendo la misma regla de transformación que se debe cumplir como se ha señalado arriba.

PROBLEMA: Escribir explícitamente, sin ninguna abreviatura matemática, las relaciones de transformación para un tensor covariante T de orden dos en un espacio de dos dimensiones.

En un espacio de dos dimensiones, un tensor covariante de orden dos estará especificado por cuatro componentes, a saber: T11, T12, T21 y T22; los cuales al ser transformados de acuerdo a la definición del tensor producirán cuatro componentes denotados como T11, T12, T21 y T22. Las cuatro relaciones de transformación son las siguientes, empezando por la primera:



seguida por la segunda:



seguida por la tercera:



y por último, la cuarta:



Habiendo definido formalmente al tensor covariante de orden dos, pasamos a definir al tensor contravariante T de orden dos en un espacio de n-dimensiones como todo aquél conjunto ordenado de componentes (Tij) que puedan ser transformados a de acuerdo con la siguiente relación:

Tpr = Σ q Σ s (xp/∂xq) (xr/xs) Tqs____q, s = 1, 2, 3, ... , n

Obsérvese que los componentes del tensor contravariante de orden dos son representados mediantes dos super-índices. Obsérvese que también en este caso que la doble sumación nos genera un arreglo de componentes que pueden ser ubicados en una matriz. Obsérvese también que tenemos el producto de dos sumaciones, posibilitándose en cada una de ellas el empleo de la convención de sumación por tener repetidos los índices r y s en el doble sumando. Prescindimos, pues, de los símbolos Σ de sumación entendiéndose la sumación implicada en cada caso por el índice repetido:



La definición anterior se puede extender a la de un tensor contravariante de orden tres, o de orden cuatro, o de cualquier otro orden superior, estableciendo la misma regla de transformación que se debe cumplir como se ha señalado arriba.

Siempre distinguiremos a un tensor covariante de orden n de un tensor contravariante del mismo orden mediante la colocación de los índices, los componentes de un tensor covariante serán sub-índices mientras que los componentes de un tensor contravariantes serán super-índices, aclarándose que esta convención no es universal ya que en muchos textos y documentos se utilizan los sub-índices para denotar a los tensores contravariantes y a los super-índices para denotar a los tensores covariantes. Lo importante en todo caso es no confundir a uno con otro una vez que se ha establecido un acuerdo en seguir cierta convención.

Habiendo establecido la existencia de tensores covariantes y contravariantes de orden n, podemos definir un concepto que consiste en una combinación de ambos, el tensor mixto, el cual consiste en una extensión de las definiciones aplicadas anteriormente a los componentes del tensor según la colocación de sus índices.

Decimos que un tensor mixto es un tensor covariante de orden N y contravariante de orden M, cuando cada uno de sus componentes está especificado por N sub-índices y M super-índices, aplicándose las mismas reglas de transformación que ya vimos con anterioridad. Es frecuente encontrar la notación:



para referirnos a un tensor mixto contravariante de orden M y covariante de orden N. Al hablar del orden de un tensor mixto nos estamos refiriendo a la cantidad total de índices (sub-índices y super-índices) empleados para especificar al tensor.

El tensor mixto más elemental de todos es el tensor contravariante de orden uno y covariante de orden uno, el cual es un tensor de orden dos, simbolizado ya sea como ya sea T = (Tij) ó como T = ((Tji), y el cual está definido de la siguiente manera:



Así como hemos defininido al tensor de orden dos, ya sea covariante, contravariante o mixto, podemos definir un tensor de orden tres, ya sea covariante, contravariante, o mixto, habiendo cinco posibilidades:

T = (Tijk)__T = (Tijk)__T = (Tijk)__T = (Tijk)__T = (Tijk)

Desafortunadamente, ya no es posible representar los componentes de un tensor de orden tres o de un tensor de orden mayor que tres en forma de un arreglo rectangular de números, en forma matricial. Pero podemos imaginar a los componentes del tensor de orden tres ordenados dentro de un cubo matricial tri-dimensional como el siguiente:



El tensor generalizado puede ser representado de la siguiente manera:



PROBLEMA: Clasificar cada uno de los siguientes tensores según su tipo.

a) T = (Tijk)

b) T = (Tαβγδε)

c) T = (Tpqrstuv)

a) Este es un tensor de covariante de orden tres.

b) Este es un tensor de orden cinco, contravariante de orden dos y covariante de orden tres.

c) Este es un tensor de orden siete, contravariante de orden cuatro y covariante de orden tres.

La ley de transformación para un tensor de orden mixto no es más que una generalización de las leyes de transformación que ya se habían definido para tensores covariantes y contravariantes:



PROBLEMA: Escríbase la ley de transformación para cada uno de los siguiente tensores.

1) T = (Tijk)

2) T = (Tijk)

3) T = (Tijkm)

4) T = (Tmnijk)

5) T = (Tqstkl)

Extendiendo las definiciones de transformación para tensores covariantes y para tensores contravariantes podemos escribir lo siguiente:

1)



2)



3)



4)




5)




Estudiando las leyes de transformación obtenidas para los tensores del problema anterior, podemos deducir una regla muy sencilla para escribir rápidamente y en forma segura la ley de transformación para cualquier tensor contravariante de orden M y covariante de orden N: refiriéndonos al último tensor T = (Tqstkl) obsérvese que las posiciones relativas de los índices p, r, m, i, j en el lado izquierdo de la transformación son las mismas que las posiciones de los mismos índices en el lado derecho. Puesto que estos índices están asociados con las coordenadas x y puesto que los índices q, s, t, k, l están asociados respectivamente con los índices p, r, m, i, j, la ley de transformación se puede escribir de inmediato.

Habiendo definido los tensores mixtos, definiremos ahora el tensor mixto más sencillo de todos, el tensor delta Kronecker, simbolizado como δ = (δ i j). Como podemos verlo por la forma en la cual está escrito, el tensor delta Kronecker es un tensor contravariante de orden uno y covariante de orden uno, cuyas componentes están definidas de la siguiente manera:

δ i j = 1___ para i = j

δ i j = 0___ para i ≠ j

No se confunda el tensor delta Kronecker δ con el delta Kronecker que es utilizado en el álgebra ordinaria. Esta es precisamente una de las razones para haber definido el tensor delta Kronecker como un tensor mixto, con un índice arriba y el otro índice abajo. Y podemos demostrar (esto se hará posteriormente) que el tensor delta Kronecker es un tensor porque se transforma de acuerdo con la definición para un tensor mixto covariante de orden uno y contravariante de orden uno.

En la práctica, al estar efectuando cálculos con ecuaciones tensoriales, hay un detalle que podemos utilizar ventajosamente a nuestro favor:

Los componentes de todo tensor (covariante ó contravariante) de orden dos siempre se pueden representar en forma de matriz. Del mismo modo, una operación matemática tensorial que involucre tensores de orden dos siempre se puede llevar a cabo con operaciones matriciales.

De éste modo, una ecuación tensorial como la siguiente expresada en notación de índices (obsérvese que, por tener dos índices doblemente repetidos en la ecuación, se debe aplicar la convención de sumación dos veces si es que se desea eliminar los índices monigote i y j dejando únicamente los índices libres r y s):

gij air ajs = grs

en donde cada elemento apq se puede ubicar dentro de una matriz A, puede ser escrita como la siguiente ecuación matricial:

ATGA = G

en donde AT es simplemente la transpuesta de la matriz A en donde intercambiamos los renglones por las columnas.

PROBLEMA: Si G = (gij) representa los 16 componentes de una matriz 4x4 tales que:

g00 = 1

g11 = g22 = g33 = g33 = -1

gij = 0 para todo i ≠ j

y si suponemos que en el elemento a pq el superíndice p representa el renglón y el subíndice q representa la columna de la matriz A en donde está colocado el elemento, demostrar que la ecuación tensorial

gij air ajs = grs

representa lo mismo que lo que representa la ecuación matricial

ATGA = G

La resolución de este problema requiere demostrar que ambas expresiones, tanto la ecuación tensorial como la ecuación matricial, generan el mismo conjunto de ecuaciones.

Si trabajamos primero sobre la ecuación tensorial, podemos llevar a cabo una expansión sobre el primer índice monigote i de conformidad con lo que nos dicta la convención de sumación para índices repetidos, con lo cual obtenemos la primera expansión:

g0j a0r ajs + g1j a1r ajs + g2j a2r ajs + g3j a3r ajs = grs

Trabajando ahora sobre el segundo índice monigote j de acuerdo a la convención de sumación, obtenemos una expresión explícita en la que tenemos sumados 16 términos del lado izquierdo de la ecuación:

g00 a0r a0s + g01 a0r a1s + g02 a0r a2s + g03 a0r a3s

+ g10 a1r a0s + + g11 a1r a1s + + g12 a1r a2s + + g13 a1r a3s

+ ...

= grs

Tenemos así una expresión con dos índices libres, r y s. Para cada combinación de los índices r y s podemos obtener una relación específica, como la siguiente:

(a00)² + (a10)² + (a20)² + (a30)² = 1

En total, obtenemos 16 ecuaciones diferentes, después de algo de álgebra laboriosa. Las ecuaciones obtenidas se pueden resumir mediante las siguientes tres relaciones generales:

(a00)² + (a10)² + (a20)² + (a30)² = 1

(a0j)² + (a1j)² + (a2j)² + (a3j)² = -1___para j = 1, 2, 3

a0i a0j - a0i a0j - a0i a0j - a0i a0j = 0___para todo i ≠ j

Si llevamos a cabo ahora la multiplicación matricial ATGA igualando la matriz resultante a la matriz G, obtenemos las mismas 16 ecuaciones que habíamos obtenido expandiendo la ecuación tensorial, lo cual resuelve el problema. Al resolverlo, el lector se dará cuenta de que recurriendo a una representación matricial podemos avanzar de manera mucho más rápida que si lo hacemos trabajando directamente sobre la ecuación tensorial.

Se había señalado con anterioridad que así como una expresión vectorial en un espacio multi-dimensional representa físicamente un campo vectorial, del mismo modo una expresión tensorial en un espacio multi-dimensional representa físicamente un campo tensorial. Como acabamos de verlo, en el caso de los tensores de orden dos una ecuación tensorial se puede reescribir como una ecuación matricial, y por lo tanto no es de extrañar que al utilizar la representación matricial estemos hablando de un campo matricial. Sin embargo, un campo tensorial descrito por un tensor de orden dos y un campo matricial vienen siendo lo mismo a fin de cuentas, aunque el manejo matemático del asunto sea diferente en ambos casos.

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