miércoles, 18 de marzo de 2009

Perspectivas futuras

La Teoría de la Relatividad en realidad es una teoría incompleta, y Einstein siempre lo supo. Es cierto que ha habido algunas mejoras a la misma que pese a las matemáticas intimidantes han aumentado nuestra comprensión sobre los fenómenos físicos que describe. Una de dichas mejoras consiste en que la notación tensorial utilizada por Einstein ha sido reemplazada por una extructura matemática más moderna, el álgebra exterior, basada en el producto cuña (wedge product) simbolizado con el símbolo “cuña” Λ (wedge), el cual tiene la siguiente interesante propiedad de anticonmutatividad:

uΛv = - vΛu

Sin embargo, estas mejoras sólo han vuelto a la teoría más elegante, no la han liberado de sus deficiencias. La primera deficiencia que podríamos citar radica en el mismo principio de equivalencia sobre el cual descansa toda la Teoría General de la Relatividad. El mismo Einstein dijo que el estar dentro de un marco de referencia acelerado podía ser considerado, para fines de análisis, como algo equivalente a estar en presencia de un campo gravitacional, pero nunca dijo que fueran exactamente la misma cosa (los llamó equivalentes, no iguales), como podemos verlo en el siguiente esquema comparando ambas situaciones:





Podemos ver claramente que el campo gravitacional de la Tierra posee una estructura esférica que no puede ser simulada simplemente acelerando un elevador en el espacio con una persona adentro del mismo. Si dos manzanas sostenidas con medio metro de separación entre las mismas son soltadas a una gran altura arriba de la Tierra, la distancia entre las manzanas se irá acortando conforme van cayendo hacia la Tierra porque cada manzana cae a lo largo de una línea recta dirigida hacia el centro de la Tierra. Pero en el elevador que está siendo acelerado, las mismas manzanas caen a lo largo de líneas paralelas. En un caso, las manzanas caen de modo tal que las direcciones de sus caídas están dirigidas hacia un punto de convergencia en donde las líneas rectas de ambas caídas convergen y se encuentran en el centro de la Tierra, mientras que en el otro caso tal punto de convergencia no existe. Esta diferencia nos permite concebir muchos experimentos con los cuales una persona encerrada dentro de un elevador sellado herméticamente sin vista hacia el exterior puede determinar si está en un elevador que está siendo acelerado o si está en presencia de un campo gravitacional. Ambas cosas no son iguales. El principio de equivalencia es útil como una primera aproximación hacia la descripción matemática de lo que ocurre en presencia de campos gravitacionales intensos, pero está basado a fin de cuentas en una equivalencia que no es una igualdad, porque no hay forma alguna en la que una gravedad artificial como la que experimenta un viajero espacial pueda reproducir lo que es una gravedad genuina con todo y ese punto de convergencia que está ausente en la gravedad artificial. La gravedad producida artificialmente en el interior de una nave espacial mientras se está acelerando es algo que consume grandes cantidades de combustible que eventualmente se agotará. Producir en una nave interestelar una gravedad equivalente a la que experimentan los objetos en la superficie de la Tierra (9.8 metros/seg²) consume bastante energía mientras está siendo producida. En cambio, para cuerpos reposando sobre la superficie de la Tierra, esa misma gravedad no implica gasto alguno de energía. Inclusive los fenómenos de levitación (suspensión en el aire) experimentados por místicos y santos según las anécdotas en varios textos religiosos alrededor del mundo son enteramente posibles (por algún mecanismo que desconocemos) porque el flotar en el aire cerca de la superficie de la Tierra tendría un consumo energético nulo de acuerdo con el principio de la conservación de la energía (el gasto energético se produce en todo caso al elevarse aunque sea unos cuantos milímetros venciendo a la gravedad de la Tierra, lo cual requiere de energía que tiene que salir forzosamente de algún lado, dificultándole inclusive al místico más iluminado que podamos encontrar la tarea de levitarse a sí mismo uno o dos kilómetros por encima de la superficie de la Tierra). Hay una cantidad creciente de científicos que están empezando a sospechar que la presencia de estos puntos de convergencia en los campos gravitacionales reales que están ausentes del otro lado de la equivalencia (en los marcos de referencia acelerados) tal vez tenga una trascendencia mucho mayor de lo que habíamos supuesto en un principio.

Podemos analizar, relativísticamente, un cuerpo en reposo (de masa propia m0) cargado eléctricamente (con una carga Q). Tanto m0 como Q producirán cada uno un campo esféricamente simétrico, un campo eléctrico y un campo gravitacional, conviviendo ambos como una sola unidad por proceder de un mismo cuerpo pero manteniendo existencias independientes. Y si el cuerpo es puesto en movimiento uniforme, podríamos suponer que ambos campos esféricos se deforman de la misma manera, con la deformación sometida a la contracción predicha por las transformaciones de Lorentz. Y si el cuerpo es acelerado, podríamos suponer que se debe emitir tanto una radiación electromagnética como una radiación gravitacional (el tema de la emisión de radiación electromagnética producida por una carga eléctrica que está siendo acelerada ya fue tratado en las entradas correspondientes a la electrodinámica relativista). Si esto fuera así, entonces una amplia literatura ya existente en innumerables tratados de electrodinámica, sus fórmulas y sus teoremas, podrían ser reformulados con cambios mínimos (de hecho, sin cambio alguno excepto notacional) para el estudio de cuerpos acelerados en la Teoría de la Relatividad. Sin embargo, aquí nos topamos con un problema fundamental: mientras que en la Teoría de la Relatividad la masa no permanece invariante al pasar de un sistema de referencia a otro, en la electrodinámica se supone que la carga eléctrica permanece invariante al pasar de un sistema de referencia a otro. Esto significa que el campo electromagnético y el campo gravitacional deben tener comportamientos diferentes al pasar de un sistema de referencia a otro pese a ser originados ambos por el mismo cuerpo. Una forma de reconciliar este conflicto consiste en suponer que la masa inercial m0 de un cuerpo, la oposición que presenta el cuerpo a ser acelerado cuando está flotando en el espacio libre, es diferente de la masa gravitacional, la masa que produce un “peso” del cuerpo como se le mide al ponerlo en una báscula situada sobre la superficie de la Tierra, y que la masa gravitacional es la masa utilizada en el tratamiento tensorial de la Relatividad General, con lo cual podríamos hacer a la masa gravitacional tan invariante como la carga eléctrica. En pocas palabras, consideraríamos a la masa inercial y a la masa gravitacional como dos propiedades diferentes de un mismo cuerpo (en su tiempo, el mismo Newton llegó a sospechar que pudieran ser propiedades diferentes) dependiendo del tipo de experimento que se esté llevando a cabo (esto es reminiscente de la dualidad onda-partícula de la materia, con la cual una partícula se puede comportar como un corpúsculo bien definido o como una onda de materia dependiendo del tipo de experimento que se esté llevando a cabo con la partícula). La masa inercial sería la masa utilizada para explicar todo lo que sucede en el ámbito de la Teoría Especial de la Relatividad, mientras que la masa gravitacional sería la masa utilizada para explicar todo lo que sucede en el ámbito de la Relatividad General. Con esto, la masa gravitacional se comportaría de la misma manera que la carga eléctrica del cuerpo, y las fórmulas serían las mismas en ambos casos, lo único que cambiaría sería la naturaleza del campo considerado más no su comportamiento bajo marcos de referencia en movimiento uniforme y acelerados. Pero esto nos presenta un nuevo problema, ya que al “desconectar” a la masa inercial de la masa gravitacional estaríamos demoliendo el mismo principio sobre el cual descansa la Relatividad General: el Principio de Equivalencia. Este principio de equivalencia es precisamente lo que “conecta” a la Teoría Especial de la Relatividad con la Relatividad General. Otra posibilidad consistiría en suponer que la carga eléctrica no es la invariante absoluta que hemos supuesto todo el tiempo, y que los efectos de la variación de la carga eléctrica al ser situada en marcos de referencia acelerados son tan minúsculos que pese a estar ahí no han podido ser detectados por estar lejos del alcance de nuestros métodos experimentales y de nuestras máquinas más potentes. Pero el fin teórico de la invariancia de la carga eléctrica tendría otra consecuencia inmediata: todas las fórmulas de la electrodinámica relativista basadas en la invariancia de la carga eléctrica dejarían de ser completamente válidas, y pasarían a ser meras aproximaciones de algo más general que está a la espera de ser descubierto. En cualquier caso, algo va a tener que ceder a un nivel tan fundamental que necesariamente estaríamos hablando de una modificación radical de nuestros conceptos teóricos más esenciales, las mismas bases sobre las cuales descansa el edificio que hemos construído hasta ahora.

Pero las deficiencias y los conflictos que se acaban de señalar apenas tocan la superficie de otras consideraciones mucho más problemáticas.

James Clerk Maxwell en quien Einstein se inspiró había logrado la unificación del campo magnético y del campo eléctrico en una sola teoría que explicaba todos los fenómenos electromagnéticos. Por su parte Einstein había logrado una teoría para explicar todos los fenómenos de índole gravitacional bajo un nuevo concepto de la mecánica. La pregunta lógica era ahora: ¿por qué no unificar ambas teorías en una sola? Después de todo, si Maxwell ya había logrado llevar a cabo la unificación del campo magnético y del campo eléctrico en una sola teoría, la unificación de las ideas de Maxwell y de Einstein podía ser considerado como el siguiente paso natural. Consecuentemente, la búsqueda de tal unificación fue emprendida por Einstein, en pos de una gran super-teoría que Einstein llamó la teoría del campo unificado. Esta hipótesis se basa en la esperanza de que debe de haber una explicación única y simple para todo, una formula que explique toda la naturaleza del universo, capaz de explicar todas las fuerzas, una teoria que posiblemente nos proporcione la clave para poder entenderlo “todo”.

El primer triunfo aparente para obtener la unificación de la Teoría de la Relatividad con la teoría del electromagnetismo fue logrado entre 1919 y 1926 por Theodor Kaluza y Oskar Klein, pero este triunfo llegó a costa de ampliar el espacio cuatri-dimensional de Einstein a un espacio de cinco dimensiones, una idea que ya para entonces no parecía tan extravagante. Después de todo, si un espacio de cuatro dimensiones, más allá del espacio de tres dimensiones (ancho, altura, profundidad) que percibimos con nuestros sentidos, había logrado la proeza de explicar todos los fenómenos gravitatorios, ¿por qué no la postulación de una quinta dimensión podría lograr la unificación de las ecuaciones de Einstein con las ecuaciones de Maxwell? Esta teoría es hoy conocida como la Teoría de Kaluza-Klein. Se sobreentiende que esta quinta dimensión es una dimensión puramente matemática que está más allá de nuestros sentidos físicos para poder visualizarla.

El problema con la Teoría de Kaluza-Klein es que no explica fenómenos que involucran las otras dos fuerzas de orden atómico que se sabe que existen, la interacción nuclear fuerte y la interacción nuclear débil. No hay forma alguna en la cual se puedan obtener explicaciones teóricas a estos fenómenos subatómicos recurriendo únicamente a la Teoría de Kaluza-Klein.

Sin embargo, considerando que la Teoría de Kaluza-Klein, aunque incompleta, había logrado la hazaña de unificar a la relatividad con el electromagnetismo mediante la postulación de un espacio de cinco dimensiones en lugar de cuatro, ¿por qué no considerar la posibilidad de obtener una teoría más amplia agregando más dimensiones al espacio de cinco dimensiones, con el fin de poder explicar también bajo un mismo esquema la interacción fuerte y la interacción débil?

Es así como las nuevas teorías para explicarlo todo a partir de una fórmula general han ido agregando una cantidad creciente de dimensiones matemáticas, las cuales están complicando enormemente la posibilidad de poder obtener una fórmula matemática sencilla como las fórmulas generales que obtuvieron Newton y Einstein en sus respectivas formulaciones de la mecánica gravitatoria. Einstein creía que la fórmula mágica para explicarlo todo debería ser una fórmula sencilla, comprensible, lo cual es imposible de lograr cuando se le van agregando más y más dimensiones a un espacio multi-dimensional cada vez más abultado. Es posible que la fórmula sencilla o por lo menos no tan complicada que Einstein estaba buscando para la formulación de su teoría del campo unificado ni siquiera exista, y si existe dicha fórmula tal vez sólo se podrá escribir concibiendo nuevas estructuras matemáticas que por el momento no nos son claras a nuestro entendimiento. Por lo pronto, lo que se tiene a la mano requiere ya no tanto de nuevas filosofías sino de un repertorio de herramientas matemáticas que requiere un grado de Doctorado bastante lejos del alcanzar para el común denominador de la gente. Además de considerar la posibilidad de ir aumentando el número de dimensiones pasando del 4-espacio relativista a un N-espacio, también existe la posibilidad de mantenernos en el 4-espacio pero aumentar el orden de los tensores, saltando (por ejemplo) de los tensores de orden dos a tensores de orden tres o inclusive tensores de orden cuatro. La geometría Riemanniana ya está preparada para este brinco al no estar limitada a un 4-espacio y al ser una geometría de cobertura general. Bajo el esquema de un aumento en el orden de los tensores, el tensor energía-tensión general T = (Tαβ) de la Relatividad General pasaría a ser un tensor como T = (Tαβγ), el cual incorporaría todas las propiedades y características ya conocidos para dicho tensor. Del mismo modo, otros tensores tales como el tensor de Faraday F aumentarían de orden incorporando lo que ya se tiene hoy. La dificultad presentada por el recurso de echar mano de tensores de orden mayor, además del trabajo matemático extra que representa este esquema, es que no se puede dar tal salto sin que esté justificado por nuevas observaciones experimentales que aún no tenemos. Einstein creía que debía ser posible derivarlo todo recurriendo únicamente a las capacidades del intelecto sin gastar mucho tiempo en algún laboratorio. Pero a estas alturas se antoja un poco difícil que este modo de pensar nos pueda llevar muy lejos.

Las complejidades arriba señaladas van a la raíz de otro problema que no ha sido resuelto aún: la unificación de la teoría de la relatividad con la mecánica cuántica. Es bien sabido que ni la teoría cuántica explica por qué es imposible viajar a la velocidad de la luz ni la Teoría de la Relatividad explica nada acerca del comportamiento de las partículas atómicas y subatómicas como pequeños paquetes de ondas de materia.

Para intentar unificar a la Relatividad General con la mecánica cuántica, se ha propuesto como partícula elemental de la fábrica espacio-tiempo a una curiosa partícula elemental bautizada como el gravitón. Y se ha postulado que, a escalas subatómicas, existe una especie de principio de incertidumbre con el cual en la fábrica espacio-tiempo ocurren cosas tan espectaculares como el tiempo dando marcha atrás. No es un mero asunto de dilatación del tiempo o inclusive un congelamiento total del avance del tiempo, sino un tiempo negativo en el que nos dirigimos no hacia el futuro sino hacia el pasado. Muchos filósofos contemporáneos aún encuentran estas ideas sumamente difíciles de digerir.

Al igual que la catedral más grande como Notre Dame en París que está construída a fin de cuentas con muchos ladrillos que son los que le dan su forma y arquitectura, también los planetas y las estrellas están hechos a fin de cuentas con átomos y moléculas que son los en última instancia dictan las propiedades de los planetas y las estrellas empezando por la más fundamental de todas: la atracción gravitatoria. Cada átomo, cada molécula, necesariamente debe contribuír un poco a dicha atracción, de manera tal que con la fuerza de los números grandes los efectos se deben manifestar tal y como los vemos.

Esto significa que si la ecuación tensorial básica de la Teoría General de la Relatividad debe tener un origen, ese origen debe radicar a fin de cuentas en los mismos átomos. Una Teoría General de la Relatividad más completa que la que actualmente tenemos debe poder obtenerse a partir de las propiedades de los mismos átomos, y a esos niveles microscópicos el comportamiento de la materia está dictado por la ecuación de onda de Schrodinger que resume la dualidad onda-partícula de la materia ultra-microscópica y su comportamiento probabilístico:



No nos es posible derivar la ecuación tensorial G = (8πG/)T de la ecuación de onda de Schrodinger porque el comportamiento gravitacional de los átomos nunca fue incorporado por Schrodinger a su ecuación. Lo más lejos que se ha llegado ha sido la fusión de la mecánica cuántica con la Teoría Especial de la Relatividad dando origen a lo que hoy se conoce como la mecánica cuántica relativista, pero esto es una referencia a la Teoría Especial de la Relatividad, no a la Teoría General de la Relatividad. Ese fue uno de los asuntos que quedaron pendientes en la época de Schrodinger, Pauli, Dirac, y otros, bajo el argumento de que a nivel atómico los efectos gravitacionales “son despreciables”. Tal vez lo serán para dos o tres átomos en cercanía el uno con el otro (e inclusive esto está por verse), pero cuando se trata de 1020 o 1030 átomos conglomerados en cercanía el uno con el otro, el argumento de que los efectos gravitacionales ocasionados por los átomos es despreciable se cae por sí solo.

Einstein intentó proceder a la inversa, intentó incorporar las fuerzas de índole sub-microscópica a sus ecuaciones tensoriales, de modo tal que lo que sucede a nivel atómico y sub-atómico pudiera ser explicado como una consecuencia de lo que ocurre a gran escala, y su fracaso evidente en esta tarea nos debe poner a pensar que una teoría ampliada sobre el comportamiento de la materia no puede privilegiar el comportamiento del macrocosmos sobre el comportamiento del microcosmos. Es irónico que Einstein, quien eliminó los conceptos del movimiento absoluto, del espacio absoluto y del tiempo absoluto, negando así la posibilidad de observadores privilegiados, haya intentado privilegiar sus propias teorías sobre las teorías que rigen el comportamiento básico de la materia en el microcosmos. Habiéndose aferrado a este punto de vista, no es de extrañar que haya terminado con las manos vacías en su búsqueda por “la gran unificación”. Asimilando los fracasos del pasado, bajo esta óptica la unificación plena de la mecánica cuántica con la mecánica relativista tiene que darse en el mundo microscópico, y es la Teoría General de la Relatividad la que tiene que ser incorporada dentro de la mecánica cuántica y derivada de ella, y no al revés como pretendía hacerlo Einstein.

En base a la naturaleza discreta (cuántica) de todo lo que hay en el Universo, parece sensato suponer que la conexión entre el mundo probabilístico de la Mecánica Cuántica y el mundo determinístico de la Teoría de la Relatividad se llevará a cabo reemplazando una sumación por una integral (saltando con ello del mundo discreto al mundo continuo, que dicho sea de paso es el eje central de toda la teoría matemática del cálculo infinitesimal):

Σ

Después de todo, así fue precisamente como Einstein logró explicar el movimiento Browniano sentando las bases teóricas de la existencia del átomo y con ello de la teoría atómica moderna, paradójicamente rehusándose a hacer lo mismo con su propia Teoría de la Relatividad.

Del mismo modo que no es posible continuar subdividiendo a la materia hasta el infinito sin toparse eventualmente con esas unidades discretas que llamamos átomos, es imposible extender los alcances de la Teoría de la Relatividad hasta niveles atómicos porque los átomos se convierten en singularidades que están fuera del alcance del modelo continuo en el cual se basa el Análisis Tensorial. Sin embargo, si estamos dispuestos a explorar la fundamentación del Análisis Tensorial sobre una base probabilista en vez de una base determinista, esto nos abre un nuevo horizonte de posibilidades al parejo con la posibilidad del desarrollo de nuevas herramientas matemáticas que no se nos habían ocurrido, porque se ha pasado por alto el hecho de que la Mecánica Cuántica, pese a estar basada en modelos probabilistas, mantiene intacto el espíritu de la filosofía relativista, inclusive a un grado mucho mayor que la misma Teoría de la Relatividad aplicada al macrocosmos. Considérese por ejemplo el análisis relativista de la órbita de un planeta girando en torno al Sol. El modelo relativista de Schwarzschild nos especifica dos coordenadas angulares para la ubicación del móvil, θ y φ. Sin embargo, una de esas dos coordenadas angulares permanece fija ya que la órbita del satélite está confinada a un plano. Esto le dá a la posición angular fija una valor privilegiado (por ejemplo, φ = π/2) sobre todos los demás valores angulares posibles (por ejemplo, φ = π/4, φ = 0, φ = 3π/2, etc.), lo cual va en sentido contrario a la relativización de la Naturaleza. En cambio, el modelo probabilista de la Mecánica Cuántica que sitúa al electrón del átomo de hidrógeno no como una partícula girando en una órbita circular a un radio fijo alrededor del núcleo atómico sobre un plano orbital fijo sino como una nube de probabilidad:





destrona el status privilegiado que cierta distancia radial o el valor de cierta coordenada angular pudieran tener sobre todos los demás valores posibles, no habiendo por lo tanto un valor privilegiado sobre todas las demás. Lo que hay en todo caso es una mayor probabilidad de encontrar a un electrón en ciertos lugares que en otros, más no una certeza absoluta, ya que de haberla tendríamos un modelo determinístico con un conjunto de valores privilegiado sobre los demás en oposición a la filosofía relativista.

Debe destacarse el hecho de que si en 1915, cuando la Teoría de la Relatividad ya estaba plenamente desarrollada y dos años después de que hubiera propuesto su modelo atómico planetario, el físico danés Niels Bohr hubiese adoptado una postura relativista, es muy probable que en vez de su modelo atómico planetario del átomo:





que concibió para explicar las líneas espectrales -inspirado en modelo planetario mecanístico de Newton- habría terminado reemplazándolo con un modelo probabilista, anticipándose con ello a lo que ya se estaba en ciernes en las mentes de otros investigadores. Si en vez de darle al electrón una órbita situándolo -en un sistema de coordenadas esféricas- a cierto ángulo azimutal fijo, privilegiando tal valor angular por encima de todos los demás (una posible infinitud de ellos), y una distancia radial fija privilegiándola de modo absoluto por sobre todas las demás, hubiera adoptado una postura puramente relativista bajo la cual no hay razón alguna para que cierto valor de coordenada angular sea privilegiado sobre todos los demás valores posibles, y de tal modo su modelo habría terminado siendo justo el modelo probabilista que tenemos hoy del átomo. El modelo planetario mecánico de Bohr, mucho menos relativista que el modelo atómico basado en nubes de probabilidad, terminó siendo desechado a fin de cuentas, considerado más como una forma de arte que como ciencia. Resulta irónico que pese a ser el modelo atómico de Bohr mucho menos relativista que el modelo atómico actual basado en nubes de probabilidad, del mismo Bohr nos haya venido algo que tal vez pueda ser utilizado exitosamente en el desarrollo de una Teoría Cuántica de la Gravedad, el principio de correspondencia que nos dice que para números cuánticos grandes, la ecuación cuántica se convierte en la ecuación clásica correspondiente. A nivel sub-atómico, la Mecánica Cuántica nos ha demostrado ya su enorme eficiencia. Al irse juntando cantidades cada vez mayores de átomos, el pequeñisimo efecto gravitacional individual se debe ir sumando al de los demás emparejándose estadísticamente en un promedio en el que no vemos ya las contribuciones individuales de cada átomo al gran promedio, y en el cual el infinito discreto nos produce la ilusión del infinito continuo. Si esto es así, entonces tal vez debería ser posible, en principio, enunciar el principio de correspondencia de Bohr en una forma modificada como la siguiente:

Principio de correspondencia de Bohr (revisado): Para un número cuántico grande, la ecuación cuántica se debe convertir en una ecuación tensorial covariante.

La relatividad, como ya se resaltó, es inherente al modelo probabilista del átomo, y al irse juntando una cantidad cada vez mayor de átomos la Naturaleza se debe volver menos relativista, lo cual (afortunadamente) permite que las órbitas de los planetas en torno al Sol sean posibles. No hay pues conflicto alguno en la posibilidad de que podamos anclar los orígenes de la Teoría de la Relatividad al mismo átomo, siempre y cuando estemos dispuestos a desechar la Relatividad determinística-mecanística y estemos dispuestos a considerar la posibilidad de una nueva frontera: la Relatividad probabilista. Si el mismo Einstein hubiera podido sobreponerse a su desdén hacia las mismas bases de la Mecánica Cuántica, es posible que habría desarrollado las herramientas matemáticas al igual que como lo hizo Newton en su desarrollo del cálculo infinitesimal para el desarrollo de la mecánica Newtoniana. Ciertamente tenía la inteligencia para ello. Lo que no tenía era ni la voluntad ni el estómago para modificar sus propios puntos de vista, pese a que la misma Teoría de la Relatividad resultó ser un concepto tan novedoso como radical y revolucionario que tuvieron que pasar varias décadas para que pudiera ser asimilada en su plenitud.

Podemos suponer, desde luego, que hay dos leyes físicas básicas totalmente diferentes en el Universo, las cuales son independientes la una de la otra, una dando origen al comportamiento cuántico de la materia, y la otra dando origen al comportamiento gravitacional, las cuales trabajando en una maravillosa y extraña coincidencia son las causantes de lo que vemos hoy. Pero desde hace ya mucho tiempo que los científicos dejaron de creer en coincidencias. Todo lo anterior nos conduce a sospechar en la posibilidad de que la ecuación de onda de Schrödinger tal vez pueda ser ampliada con la adición de un término desconocido:



o la introducción de un factor desconocido:



con lo cual se llevaría a su conclusión aquello que el mismo Schrödinger dejó pendiente. Como está dada hoy su ecuación, no es posible derivar de la misma la explicación de ningún fenómeno gravitacional (del mismo modo que no es posible derivar la Teoría General de la Relatividad explicación alguna para los fenómenos que ocurren en el mundo sub-atómico). Algo nos falta en ella que tiene que ser agregado, incorporando dentro de la misma un espacio cuatri-dimensional (o inclusive un espacio de mayores dimensiones, aunque nuestra limitada intuición geométrica no nos ayude a captarlo en su totalidad).

Para el estudio de los fenómenos microscópicos y para los efectos del cálculo numérico, el factor desconocido o el término desconocido sería considerado insignificante, despreciable, pero no sería cero. A medida que se van acumulando más y más átomos y moléculas en un solo lugar, la contribución de cada uno de ellos a la curvatura del espacio-tiempo deja de ser insignificante, hasta el punto en que el efecto gravitacional se vuelve predominante, imposible de ignorar. Esto es lo que debe predecir una ecuación relativista generalizada de Schrödinger. Los fenómenos físicos en el macrocosmos dependen a fin de cuentas de la contribución producida por cada átomo y molécula en reposo o en movimiento. Es muy posible que a nivel individual cada átomo exhiba un efecto probabilista en su contribución a la curvatura del espacio-tiempo en su entorno, el cual sería promediado fuera (estadísticamente hablando) en un conglomerado enorme de átomos y moléculas, lo cual a su vez justificaría el modelo determinista (no-probabilista) defendido por Einstein.

En cierta forma, la ecuación de onda de Schrödinger dada arriba ya está preparada de alguna manera para la incorporación de una cuarta coordenada haciéndola pasar a un espacio cuatri-dimensional. Matemáticamente la ecuación se puede expresar de manera más concisa recurriendo al operador Laplaciano ∇ (nabla ó del):



Este operador es extendido a cuatro dimensiones con la definición de un operador ampliado conocido como el operador D’Alembertiano \Box definido a partir del siguiente tensor de orden 1 (vector):



con lo cual, aplicando la convención de sumación y recurriendo a la ayuda del tensor métrico ημν:

\Box² = μμ

\Box² = ημνμ ν



El problema en tratar de unificar la Teoría de la Relatividad con la mecánica cuántica no es tan sólo un problema de mera índole matemática, sino que confronta cuestiones filosóficas de fondo que a primera vista parecen imposibles de conciliar. En las fórmulas derivadas por Einstein existe la presunción de que todo se puede describir rigurosamente mediante el par causa y efecto. Si se conocen las condiciones iniciales de un problema mecánico, entonces todo lo que acontecerá en el futuro puede ser predicho a partir de dichas condiciones. El universo de Einstein es, en efecto, un universo determinístico. Pero en la mecánica cuántica esta filosofía es echada por la borda empezando con la postulación del principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual nos dice que no es posible determinar a la vez con precisión ilimitada la posición exacta de una partícula y la velocidad con la cual se está moviendo, y esto no se trata de un problema en la limitación que nuestros instrumentos de medición impongan para la medición de tales parámetros, se trata de una cuestión inherente a la naturaleza de la materia en sí. El universo de la mecánica cuántica es, en efecto, un universo probabilístico. No hay forma fácil de poder conciliar estos puntos de vista tan diametralmente opuestos.

En nuestro trayecto hacia la gran unificación de la Teoría de la Relatividad con la mecánica cuántica contamos ya con algunas unas pistas experimentales que, aunque escasas, están resultando muy reveladoras. Una de ellas nos viene de un experimento llevado a cabo en 1975 por los investigadores R. Colella, A. Overhauser y S. A. Werner. Se trata del descubrimiento y corroboración de un efecto de interferencia que depende de un ángulo de corrimiento de fase cuántico debido a la gravedad, el cual ha sido verificado con un error experimental inferior al 1% con la ayuda de un interferómetro de neutrones que utiliza neutrones térmicos para el estudio de los neutrones como ondas de materia. Este es el primer experimento de su tipo en el cual en los cálculos teóricos el potencial gravitatorio entra directamente dentro de la ecuación de Schrodinger, y nos revela algo sumamente interesante: La gravedad no es puramente geométrica a un nivel cuántico puesto que su efecto depende de (m/ħ). Si lo meditamos un poco, este resultado no nos debe resultar tan sorprendente en virtud de que si la gravedad mantuviese su aspecto puramente geométrico en el mundo sub-microscópico ello implicaría una posible sub-división hipotética del espacio-tiempo hasta niveles sub-atómicos, lo cual en turno convertiría al mundo sub-microscópico en un entorno determinista en donde las reglas de la mecánica cuántica no deberían de funcionar, lo cual no es el caso. Todo nos parece indicar que, a niveles sub-atómicos, la suave geometría Riemanniana del continuum se esfuma para dar paso a otra cosa para la cual la mecánica cuántica trabaja bien aunque aún no haya incorporado dentro de sí a la gravedad. El experimento COW (Colella, Overhauser, Werner) nos indica sin equivocación alguna que la gravedad y la Mecánica Cuántica no son algo desconectado, y que a nivel sub-atómico es posible observar y medir efectos debidos a la gravedad porque inclusive a este nivel potencial gravitacional.

Einstein tuvo enormes dificultades para aceptar los postulados de la mecánica cuántica, pese a una cantidad creciente de triunfos de la teoría cuántica en la predicción de fenómenos que fueron confirmados rigurosamente en el laboratorio uno a uno. Einstein se opuso firmemente a esta concepción del universo, a grado tal que afirmó en una célebre frase: “Dios no juega a los dados con el Universo”. Con este modo de pensar, el mismo Einstein se ató sus propias manos impidiéndose a sí mismo la búsqueda de una teoría que pudiera conciliar su universo determinístico con el universo probabilístico de la mecánica cuántica. De cualquier modo, el mismo Einstein reconoció las limitaciones matemáticas inherentes en cualquier esfuerzo por tratar de extender la Relatividad General hacia el microcosmos:

“Las ecuaciones diferenciales que pueden ser postuladas como ley de campo para los gik no pueden ser menores del segundo orden, esto es, deben contener por lo menos las segundas derivadas de los gik con respecto a las coordenadas. Suponiendo que no aparezcan derivadas mayores de segundo orden en la ley de campo, está determinado matemáticamente por el principio de la relatividad general. El sistema de ecuaciones puede ser escrito en la forma:

Rik = 0

Los Rik se transforman en la misma manera que los gik, esto es, también ellos forman un tensor simétrico.

Estas ecuaciones diferenciales reemplazan completamente la teoría Newtoniana del movimiento de los cuerpos celestes siempre y cuando las masas sean representadas como singularidades del campo. En otras palabras, ellas contienen la ley de la fuerza así como la ley del movimiento a la vez que se eliminan 'sistemas inerciales'.

El hecho de que las masas aparezcan como singularidades indica que estas masas por sí mismas no pueden ser explicadas por campos simétricos gik, o 'campos gravitacionales'. Ni siquiera el hecho de que únicamente existan masas positivas gravitacionales puede ser deducido de esta teoría. Evidentemente una teoría relativista de campo completa debe estar basada en un campo de naturaleza más compleja, esto es, una generalización del campo simétrico tensorial”. (“On the Generalized Theory of Gravitation”, Albert Einstein, Scientific American, Abril, 1950.)

Precisamente para solventar el problema presentado por este fenómeno “patológico” de las partículas atómicas y sub-atómicas que necesariamente aparecen como singularidades en las ecuaciones de campo de Einstein, el físico ruso Anatoli Logunov junto con dos colaboradores suyos, Mestvirishvili y Petrov, concibió una teoría alternativa a la Relatividad General, a la cual llamó Teoría Relativista de la Gravitación (desafortunadamente, esta selección de palabras se presta a la confusión con la teoría de Einstein), cuya formulación es muy similar a la Relatividad General. Las predicciones de esta teoría y la de Einstein son muy parecidas, ambas postulan ecuaciones muy similares sobre cómo se curva el espacio-tiempo en presencia de la materia-energía, y la forma geométrica del espacio tiempo en el vacío resulta similar. Las dos teorías son diferentes, sin embargo, en sus implicaciones cosmológicas y de equilibrio de cuerpos muy masivos. La Teoría Relativista de la Gravitación requiere que el gravitón tenga una masa pequeña pero aún así diferente de cero; en cambio la Relatividad General de Einstein es compatible tanto con una masa del gravitón diferente de cero, como con una masa del gravitón exactamente igual a cero. Si la masa del gravitón no fuera cero ello se manifestaría en la presencia en las ecuaciones de campo de una constante cosmológica, lo cual debe tener consecuencias detectables. En principio, se pueden diseñar experimentos para descartar una de las dos teorías, pero hasta la fecha esto sigue un asunto pendiente de resolver. La Teoría Relativista de la Gravitación, pese a su atractivo en la remoción de las masas puntuales como singularidades matemáticas de la teoría, no es la principal competidora de la Relatividad General, de Einstein. Lo es la teoría de gravitación Brans-Dicke desarrollada en 1961 que también es capaz de explicar la deflexión de la luz en presencia de un campo gravitacional así como la precesión de las órbitas de los planetas en torno al Sol, y la cual contiene además sus propias características peculiares tales como el hecho de que la constante de gravitación universal G no es realmente una constante e inclusive lo que la sustituye dentro de la teoría Brans-Dicke puede variar de lugar así como en el tiempo. Al igual que como ocurre con la Teoría Relativista de la Gravitación de Logunov, las predicciones de la teoría Brans-Dicke también concuerdan con los datos observados experimentalmente hasta la fecha, y aquí también el diseño de algún experimento que ponga a una teoría sobre la otra sigue un asunto pendiente de resolver.

Por otro lado, además de que la Teoría de la Relatividad es incapaz por sí sola de explicar los fenómenos propios del electromagnetismo y ha resistido los intentos de los mejores científicos de nuestro tiempo por ser unificada con la mecánica cuántica, además es incapaz también de explicar también otro asunto que ha causado enorme preocupación a los científicos: la presunta existencia de algo bautizado como la materia oscura. Si aplicamos ya sea las ecuaciones de Newton o las ecuaciones de Einstein al estudio del comportamiento de las galaxias, de las cuales las más susceptibles de análisis son las conocidas como las galaxias espirales, las cuales se dá por hecho que están en movimiento de rotación por la forma que tienen los brazos espirales:





encontramos que simple y sencillamente no hay suficiente masa para proporcionar suficiente atracción gravitacional (o curvatura en el espacio-tiempo) para retener las estrellas situadas en los bordes exteriores de las galaxias, las cuales ya deberían haber salido disparadas fuera de las mismas desde hace mucho tiempo. Debe haber algo más que está proporcionando esa atracción gravitacional extra para poder retener las estrellas exteriores a las galaxias orbitando en torno al centro de la galaxia. Ese algo es precisamente la materia oscura. El problema es que no hay nada allí afuera que nos indique su existencia. Puesto que no parece interferir con la transmisión de la luz que nos llega desde el interior de otras galaxias exteriores a la nuestra, la materia oscura parece ser totalmente invisible. Pero a la vez debe ser lo suficientemente masiva para poder proporcionar una atracción gravitacional enorme que permite que las galaxias puedan mantener sus estrellas unidas en rotación constante. La única forma de compensar por esta atracción extra es introduciendo una constante cosmológica dentro de la ecuación tensorial básica de la Teoría de la Relatividad. Esto sería para justificar los efectos de la materia oscura sin tratar de comprender la naturaleza de la cual está hecha.

Pero la materia oscura no es el único problema que enfrenta actualmente la Teoría de la Relatividad. Los descubrimientos astronómicos más recientes nos han confirmado que no sólo nuestro Universo se está expandiendo, sino que esa expansión que se creía constante y uniforme se está acelerando. La primera consecuencia de este descubrimiento es que la ley de Hubble que no anticipaba tales efectos de aceleración en la expansión del Universo está entrando en serios aprietos. Esta aceleración en la expansión del Universo se cree que es debida a algo que ha sido bautizado como la energía oscura, una energía de naturaleza puramente anti-gravitacional. Si pudiésemos en estos momentos producir en la Tierra aunque fuese un poco de esa materia oscura, podríamos construír naves espaciales que nos podrían llevar a otros planetas de nuestro sistema solar en cuestión de unas cuantas horas.

La única forma inmediata de compensar por esta repulsión extra es introduciendo otra constante cosmológica dentro de la ecuación tensorial básica de la Teoría de la Relatividad que ciertamente será diferente de la constante cosmológica requerida para compensar por los efectos de la materia oscura, de modo tal que tendríamos dos constantes cosmológicas diferentes, una para explicar los efectos gravitacionales a distancias cortas (hablando en términos astronómicos) y la otra para explicar los efectos gravitacionales a distancias grandes. Tal vez podríamos agrupar ambas constantes cosmológicas dentro de una sola constante cosmológica que se reduciría a la explicación de los efectos de la materia oscura para distancias cortas y la explicación de los efectos de la energía oscura para distancias grandes. Esto nos lleva de nuevo a la Teoría Relativista de la Gravitación propuesta por Anatoli Logunov y sus colaboradores, mencionada arriba. Esta teoría, al requerir una masa del gravitón que sea diferente de cero, introduce en las ecuaciones de campo la siguiente constante cosmológica:



en donde mg es la masa del gravitón. Esto tiene una consecuencia importante, ya que la adición de este término adicional a las ecuaciones de campo proporcionaría una explicación a la aceleración de la expansión del Universo, aunque deja pendiente el asunto de la explicación acerca de la materia obscura. Aún si la Teoría Relativista de la Gravitación de Logunov resulta cierta, la explicación de ambos efectos opuestos por un mismo conjunto de ecuaciones de campo necesariamente será un asunto de complejidad adicional que nos aleja de la suposición Einsteniana de que todas las leyes del Universo deben poder ser derivables de unos cuantos principios que pueden ser expresados en términos elementales. Puesto más elitísticamente, el Universo estaría construído de modo tal que su funcionamiento no podrá ser entendido más que por unos privilegiados, a menos de que inventemos una nueva estructura matemética que permita resumir sus leyes de una manera concisa.

Aquí resulta instructivo reproducir las siguientes palabras del Profesor Heinz Pagels tomadas de su libro Perfect Symmetry: “Pero mi exhuberancia juvenil generó algo de lo cual no me he podido liberar hasta el día de hoy, la idea de que una ley física sencilla explique la totalidad de la existencia material. Tal ley física explicaría el origen del Universo, sus contenidos, y su destino final. Todas las demás leyes naturales podrían ser derivadas lógicamente de esta ley única. Si tal ley fuese descubierta, sería el triunfo supremo de la física: la narración lógica de la fundación de la existencia estaría completa. Nadie, incluídos los físicos, tiene la menor prueba de que tal ley pueda existir. Es fácil imaginar muchos problemas. Tal vez la misma idea de lo que es una ley física se quiebra en algún punto. Por ejemplo, la descripción física de la Naturaleza, que hasta hoy no le ha fallado a los físicos, concebiblemente sea inadecuada para la tarea de poder enunciar tal ley. Otra posibilidad es que tal ley maestra existe pero la mente humana es incapaz de encontrarla. Inclusive una super-inteligencia artificial con capacidades que van más allá de la mente humana estaría limitada por esa misma ley. Entonces, por eso mismo, estaría imposibilitada para poder descubrir tal ley”. (Sobre esto último, puesto con otras palabras, la forma y la naturaleza de dicha ley actuando sobre de una super-inteligencia artificial quizá le impediría a esa super-inteligencia artifical el poder descubrirla; estamos hablando aquí de una máquina que tendría que ser lo suficientemente inteligente para poder comprender las mismas leyes que le permitan comprender aquello que está tratando de comprender pese a que está sujeta a esas misma leyes.) Nadie ha demostrado que tal teoría del todo pueda existir. Pero tampoco nadie ha demostrado que tal teoría no exista.

Es muy posible que una teoría del todo realmente exista esperando ser descubierta por alguien. Han aparecido recientemente trabajos apuntando hacia esa dirección. Uno de ellos que tomó por sorpresa al mundo académico fue presentado por Antony Garret Lisi, el cual remitió su trabajo al repositorio de Internet arXiv el 6 de noviembre de 2007 bajo el título “Una teoría del todo excepcionalmente simple” (An Exceptionally Simple Theory of Everything). Este es un trabajo sorprendente por cuanto su autor no pertenece al mundo habitual de la física académica sino que se ha dedicado la mayor parte del año a la práctica del surf en Hawai. Al menos desde el punto de vista matemático, su autor logra lo que se propone, unificar plenamente la Mecánica Cuántica con la Teoría de la Relatividad. Sin embargo, el título del trabajo suena más que irónico, porque esta unificación fue llevada a cabo recurriendo a álgebras Lie y a uno de los grupos más complejos que se conocen dentro de la teoría de grupos, el grupo compacto Lie E8 de dimensión 248. Y aunque en marzo de 2010 Jacques Distler y Skip Garibaldi publicaron un trabajo refutando la teoría de Lisi, el hecho de que alguien haya logrado dar con argumentos convincentes para proporcionar una solución con las matemáticas actuales al problema de la gran unificación buscada por Einstein debe ser motivo de reflexión, máxime que desde antes de la publicación de dicho trabajo ha existido una comunidad creciente de científicos que sospechan que el grupo compacto Lie E8 posiblemente jugará un papel importante en la obtención de la verdadera teoría del todo. De cualquier modo, no se debe descartar la posibilidad de que sea necesario el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas que logren “pegar” filosóficamente el mundo determinista y el mundo de la probabilidad como una especie de dios Jano con dos rostros distintos pero en el fondo una sola y misma persona. Estas nuevas herramientas matemáticas posiblemente actuarían como el complemento necesario, como la pieza faltante para poder terminar de ensamblar el rompecabezas. Hasta hoy hemos tratado de explicarlo todo con las matemáticas que ya se tienen, y tal vez sea necesario romper el esquema metiendo algo nuevo que no contradiga lo que ya se tiene pero que pueda unificar algo que de otra manera tal vez sea imposible de unificar.

Como puede verse, aún hay mucho campo de estudio y recreación con amplias oportunidades en el futuro para quienes quieran continuar la labor emprendida por genios como Einstein. Y aunque posiblemente algunos se sientan atemorizados al no sentirse intelectualmente a la altura de Einstein, deben considerar que, más que un cociente intelectual de 500, tal vez lo que se requiera sean ideas nuevas que a fin de cuentas serán el fruto de la imaginación, la cual tiene más que ver con la creatividad que con cocientes intelectuales superiores.


Referencias para estudios posteriores


(1) Referencia Wikipedia sobre el álgebra exterior basada en el producto cuña:

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_exterior

(2) Referencia Wikipedia sobre la teoría del campo unificado:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_campo_unificado

(3) Referencia Wikipedia sobre la teoría de Kaluza-Klein:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Kaluza-Klein

(4) Referencia Wikipedia sobre la interacción nuclear débil:

http://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_d%C3%A9bil

(5) Referencia Wikipedia sobre la interacción nuclear fuerte:

http://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_fuerte

(6) Referencia Wikipedia sobre el gravitón:

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravit%C3%B3n

(7) Referencia Wikipedia sobre la mecánica cuántica relativista:

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica_relativista

(8) Referencia Wikipedia sobre la gravedad cuántica:

http://es.wikipedia.org/wiki/Gravedad_cu%C3%A1ntica

(9) Referencia PBS acerca de la nueva teoría del todo basada en las supercuerdas:

http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant

(10) Referencia Wikipedia sobre la materia oscura:

http://es.wikipedia.org/wiki/Materia_oscura

(11) Referencia Wikipedia acerca de la energía oscura:

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_oscura

(12) Referencia Wikipedia sobre la ley de Hubble:

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Hubble

(13) Referencias Wikipedia sobre “Una teoría del todo excepcionalmente simple” de Antony Garret Lisi:

http://es.wikipedia.org/wiki/Una_teor%C3%ADa_del_todo_excepcionalmente_simple

http://en.wikipedia.org/wiki/An_Exceptionally_Simple_Theory_of_Everything

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