miércoles, 18 de marzo de 2009

19: Predicciones, confirmaciones, y reflexiones

Relatividad General: Predicciones y confirmaciones de la teoría


En 1916, Einstein propuso tres hechos experimentales para confirmar la veracidad de la Teoría General de la Relatividad:

1) La precesión anómala de la órbita del planeta Mercurio alrededor del Sol.

2) La deflexión de los rayos luminosos ocasionada por la curvatura en el espacio-tiempo producida por el Sol en la cercanía a dicha estrella.

3) El corrimiento hacia el rojo de la luz ocasionado por la gravedad.

El primer gran triunfo de la Relatividad General fue, indudablemente, la explicación satisfactoria de la precesión anómala de la órbita del planeta Mercurio alrededor del Sol en concordancia con los datos experimentales. De hecho, en la derivación de sus ecuaciones tensoriales para formalizar matemáticamente a la Relatividad General, Einstein obtuvo entre los primeros resultados intermedios la explicación a la precesión anómala de Mercurio.

De acuerdo con las leyes de Kepler deducidas a partir de datos astronómicos y confirmadas por Newton mediante su ley de atracción universal, los planetas del sistema solar al trasladarse alrededor del Sol describen órbitas en forma de elipse, con el Sol ocupando uno de los focos de la elipse:





La trayectoria elíptica se mantiene invariable bajo la formulación matemática de las leyes de Newton, no hay absolutamente nada que pueda hacer cambiar dichas órbitas elípticas excepto la proximidad ocasional de otro planeta que introduzca alguna alteración en el recorrido causada por esa fuerza de atracción gravitacional extra. Sin embargo, en el caso del planeta Mercurio, el planeta del sistema solar más cercano al Sol, su punto de máxima aproximación, su perihelio (del griego peri que significa “cerca de” y helios que significa Sol) que está situado en el extremo derecho de la órbita de la figura de arriba, no siempre ocurre en el mismo lugar, sino que va cambiando de lugar año con año. Esta rotación gradual de la órbita elíptica de Mercurio es conocida como precesión:





La precesión de la órbita no es algo que sea peculiar a Mercurio, ya que todas las órbitas planetarias tienen su propia precesión, este es un efecto predicho por la teoría de Newton como consecuencia del “jaloneo” gravitacional de un planeta sobre otro cuando dos planetas se aproximan (también hay “jaloneos” múltiples cuando varios planetas se alinean a lo largo de una línea imaginaria radial hacia el Sol, aunque los efectos sobre la precesión no son detectables por su pequeñez). Lo importante en todo caso es si las predicciones hechas por Newton están de acuerdo matemáticamente con la magnitud de las precesiones observadas a través del telescopio. No basta con entender cualitativamente el origen de algún efecto, los argumentos que explican el efecto tienen que estar respaldados por datos numéricos para poder darle credibilidad a la teoría que explica el efecto. La precesión de las órbitas alrededor del Sol de todos los planetas parecían estar bien explicadas en base a las ecuaciones de Newton. Pero Mercurio parecía ser la excepción.

Vista desde la Tierra, la precesión de la órbita de Mercurio tiene un valor (angular) de unos 5600 segundos de arco por siglo (un segundo de arco es igual a 1/3600 de grado). Las ecuaciones de Newton, tomando en consideración todos los efectos gravitacionales de los demás planetas sobre Mercurio, así como la deformación ligera del Sol debida a su propia rotación, más el hecho de que la Tierra no es un marco inercial de referencia en virtud de su propia rotación y traslación alrededor del Sol, predicen mediante las fórmulas de Newton una precesión de 5557 segundos de arco por siglo. Existe entonces una discrepancia de 43 segundos de arco por siglo, la cual no puede ser eliminada aún suponiendo que haya algunos errores experimentales de medición solventados con mediciones astronómicas cada vez más refinadas. Y esta discrepancia no puede ser explicada usando las fórmulas de Newton.

Se puede objetar con desconfianza, no sin cierta razón, el que una deflexión angular tan pequeña ocurriendo de una órbita a la siguiente pueda ser medida con tanta precisión con simples observaciones astronómicas obtenidas mediante telescopios inclusive desde antes de la formulación de la Relatividad General. Sin embargo, después de unos cincuenta años de observaciones astronómicas y de estar recabando datos, la precesión acumulada es ya de cincuenta tantos con respecto a la que tuvo lugar entre el primer año y el siguiente, y con sólo dividir entre 50 la precesión acumulada entre el primer año y el año cincuentavo obtenemos una aproximación razonablemente buena, la cual va mejorando conforme el efecto acumulado de más precesiones con el paso de más años se va volviendo más discernible en la mesa de los datos.

Aunque se propusieron muchas explicaciones “ad-hoc” para explicar la diferencia entre la precesión de la órbita del planeta Mercurio predicha por las ecuaciones de Newton y la precesión observada con mediciones astronómicas (por ejemplo, el suponer que había cierta cantidad de polvo estelar entre Mercurio y el Sol) estas explicaciones jamás pudieron ser confirmadas (las sondas espaciales que han sido enviadas a dicha región del sistema solar no han encontrado evidencia alguna de la existencia de polvo estelar entre Mercurio y el Sol).

En contraste, basándose en su Teoría General de la Relatividad, Einstein pudo explicar correctamente, sin necesidad de tener que hacer corrección alguna, esa precesión extra de 43 segundos de arco por siglo del planeta Mercurio. Aunque todas las mediciones astronómicas anteriores habían sido hechas mediante telescopios convencionales, las mediciones más precisas en la actualidad son hechas mediante radar. En base a estas mediciones más exactas, la precesión de la órbita de Mercurio tiene un valor de 5599.7 segundos de arco por siglo.

Fue el 18 de noviembre de 1915, poco antes de obtener las ecuaciones finales de campo de la Relatividad General, cuando Einstein basándose en las ecuaciones de campo del vacío publicó una derivación de la precesión orbital de Mercurio, la cual terminó siendo parte sin cambio alguno de la teoría que estaba próxima a ser concluída. Ya desde 1907 le había escrito a Conrad Habicht que estaba trabajando en una teoría de gravitación que esperaba que pudiera explicar la precesión anómala de Mercurio. Ocho años después, logró obtener exitosamente el resultado que esperaba obtener, comentándole a un amigo que estuvo sobrecogido por la emoción por varios días después de haber establecido una conexión sólida entre la teoría y las observaciones astronómicas. La demostración que publicó formalmente en 1915 es matemáticamente interesante, no sólo por la manera en la cual obtuvo la ecuación del movimiento de las ecuaciones de campo del vacío (vacuum field equations), sino por el método que utilizó para inferir la cantidad de precesión a partir de dicha ecuación, sin contar con el beneficio de la solución esféricamente simétrica de Schwarzschild, la cual fue encontrada por éste último a menos de un mes después cuando trabajaba en su puesto en el frente de guerra ruso. Careciendo de la solución esférica exacta a las ecuaciones de campo que sería encontrada por Schwarzschild, Einstein trabajó con una aproximación a la solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo del vacío, escribiendo su métrica “aproximada” empleando coordenadas Cartesianas (rectangulares), la cual escrita en coordenadas polares toma la siguiente forma:

(dτ)² = (1 - 2M/r) (dt)² - (1 + 2M/r) (dr)² - r² (dθ)² - r² sen² (θ) (dφ)²

Schwarzschild pronto demostró que el coeficiente de (dr)2 debería ser realmente (1-2m/r)-1, lo cual está de acuerdo con la aproximación de Einstein únicamente hasta el primer orden en M/r. Dado el alto grado de simetría (esférica) en este caso, no es difícil obtener la solución exacta a partir de las ecuaciones de campo, pero el mismo Einstein no había anticipado que una solución exacta a las ecuaciones de campo pudiera existir.

En referencia a la derivación empleada por Einstein, el gran matemático David Hilbert, el cual también estaba trabajando en una teoría de campo unificado basándose en parte en la naciente teoría gravitacional de Einstein, le escribió con cierta envidia lo siguiente:
“... felicitaciones en su conquista del movimiento del perihelio. Si yo pudiera calcular tan rápidamente como usted, en mis ecuaciones el electrón debe corresponder capitulando, y simultáneamente el átomo de hidrógeno debería presentar sus disculpas sobre el por qué no produce radiación.”
De acuerdo con la Relatividad General, el desplazamiento angular del perihelio por revolución δφ (se entiende aquí por revolución una órbita completa del planeta aunque dicha órbita no se “cierre”) a causa de la corrección relativística a la órbita elíptica Newtoniana clásica está dado por la siguiente fórmula (cuyo resultado está dado en radianes por cada revolución completa alrededor del Sol):



En esta relación el parámetro a es lo que llamamos el semieje mayor de la órbita (igual a la mitad del diámetro mayor de la elipse) y e es la excentricidad de la elipse (en el caso de un círculo, e = 0 y no hay excentricidad, y entre mayor sea e tanto más elongada será la elipse). En algunos textos tradicionales, la cantidad a(1-e²) es conocida como el latus rectum. (Para una órbita circular, el semi-latus rectum es igual al radio de la órbita.) Puesto que la distancia del perihelio p está relacionada al semieje mayor mediante p = a(1-e), podemos escribir también:



La fracción GM/c² es igual a la mitad de una distancia conocida como el radio de Schwarazschild. Poniendo valores:

Constante de Gravitación Universal = G = 6.674215·10-11 m3/kg-seg²

Masa del Sol = M = 1.99·1030 Kilogramos

encontramos que para el Sol:

GM/c² = (6.674215·10-11) (1.99·1030) /(3·108)² = 1.476 Kilómetros

Esta es una distancia muy pequeña si la comparamos con la distancia del perihelio de Mercurio de 46 millones de kilómetros al centro del Sol. Por lo tanto, el desplazamiento angular del perihelio por revolución es una cantidad muy pequeña.

Utilizando directamente la fórmula de arriba, obtenemos δφ = 4.99·10-7 radianes por órbita, lo cual utilizando la conversión:

2π radianes = 360 grados = 21,600 minutos = 1.296·106 segundos

1 segundo de arco = 1" arco = 4.848·10-6 radianes

encontramos que equivale a (4.99·10-7)/(4.848·10-6) = 0.103 segundos de arco por revolución, y puesto que Mercurio le dá la vuelta al Sol cada 87.969 días o bien:

(87.969 días) /(365 días/año) = 0.241 año/revolución

entonces el desplazamiento angular δφ de la órbita a causa de la precesión es igual a:

δφ = (0.103"/revolución) /(0.241 año/revolución)

δφ = 0.43"/año = 43"/siglo

que es justamente lo requerido para explicar la discrepancia observada astronómicamente en la precesión de la órbita de Mercurio, la cual no puede ser explicada mediante la aplicación de la ley de la gravitación universal de Newton.

La derivación de la fórmula para el desplazamiento angular del perihelio por revolución no es un asunto muy complicado si empezamos con la solución exacta a las ecuaciones de Einstein conocida bajo una simetría esférica, o sea empleando la métrica de Schwarzschild, a partir de la cual podemos obtener directamente la ecuación de movimiento de una partícula en proximidad a un astro de masa grande como el Sol. Si el lector desea anticiparse un poco al material que será tratado posteriormente, puede encontrar dos derivaciones de la fórmula en el enlace Wikipedia proporcionado al final de esta entrada, en la sección titulada “Precession of elliptical orbits”. Sin embargo, el lector tal vez quiera esperar un poco hasta que tratemos temas tales como los tensores, las métricas y las geodésicas antes de intentar comprender plenamente lo que hay detrás de la derivación de la fórmula.

Habiendo aceptado la noción de que la presencia de cualquier cantidad de masa en el espacio-tiempo introduce una curvatura en el mismo, la Relatividad General nos prepara para una de sus predicciones que junto con la explicación de la precesión anómala del planeta Mercurio fue la primera en ser confirmada experimentalmente: la curvatura de la trayectoria de un rayo de luz en presencia de un campo gravitacional intenso.

Todavía hasta los tiempos de James Clerk Maxwell, el padre de la teoría del electromagnetismo, e inclusive después de él, no había razón alguna para suponer que la luz pudiera interactuar de modo alguno con un campo gravitacional. Siendo la luz una onda electromagnética carente de masa, se trataba de fenómenos completamente diferentes, y punto. De las cuatro ecuaciones de Maxwell no era posible deducir ni obtener interacción alguna ya sea de carácter eléctrico o magnético con la gravedad de la Tierra o cualquier otro cuerpo, la fórmula para la fuerza de atracción la gravedad no entraba en ellas. Sin embargo, la Teoría General de la Relatividad no tardó en cambiar el panorama.

Primero que nada, debe sernos claro que un observador que esté en reposo con respecto a un rayo de luz y un observador que esté acelerándose con respecto al mismo rayo de luz verán al rayo de luz de maneras distintas. El observador que está en reposo sin estar sujeto a aceleración alguna verá a un rayo de luz viajar en línea recta. En cambio, un observador que esté acelerándose verá al rayo de luz seguir una trayectoria curva. Esto se vuelve más claro considerando el siguiente experimento hipotético:





En la plataforma de lanzamiento de la nave que suponemos que se está acelerando rápidamente con la ayuda de motores muy potentes, la vista que tiene un observador descansando sobre la plataforma de lanzamiento de un rayo de luz que es disparado horizontalmente desde una lámpara montada sobre la plataforma de lanzamiento es precisamente de un rayo de luz horizontal. Eso es lo que vería al ver a la nave despegando al mismo tiempo a una aceleración enorme. Pero la vista que tiene un viajero que va adentro de la nave de ese mismo rayo de luz es diferente, ya que lo que él ve es un rayo de luz que se va curveando hacia abajo.

Supóngase que tomamos a nuestro viajero de ferrocarril con el cual empezamos nuestra discusión sobre el tema de la relatividad en la entrada “El movimiento absoluto”, y lo movemos a un elevador especial, el cual tiene una ventana al exterior, de modo tal que el movimiento de nuestro viajero ya no será llevado a cabo horizontalmente sino verticalmente. Supóngase que inicialmente está reposo con respecto a un observador externo que dispara un rayo de luz horizontal. Nuestro pasajero en el elevador verá también al rayo de luz desplazarse horizontalmente. Si el elevador se está desplazando hacia arriba a una gran velocidad que se mantiene constante, entonces por los efectos propios de los dos postulados de la Teoría Espacial de la Relatividad con los cuales descubrimos los efectos de la dilatación del tiempo y la contracción de longitud el rayo de luz recorrerá una distancia mayor tal y como lo ve nuestro viajero desde su ventanilla de observación:





Al estarse moviendo el elevador a una velocidad constante, nuestro viajero no experimenta fuerza alguna que le permita determinar si es él quien está en movimiento en un elevador que está subiendo o si la persona fuera del elevador con la linterna de luz en la mano es la que está bajando a gran velocidad provocando que el rayo de luz tome la ruta de una línea recta inclinada. Pero si el elevador va cambiando bruscamente de velocidad, moviéndose hacia arriba a velocidades cada vez más cercanas a la velocidad de la luz, nuestro viajero sabe perfectamente que él está sujeto a una aceleración producida ya sea por unos motores potentes puestos debajo del elevador impulsándolo hacia arriba a velocidades cada vez mayores, y esto lo confirmará al asomarse por la ventanilla y ver que el rayo de luz toma una trayectoria curva.

Ahora apelaremos al principio de equivalencia de la Relatividad General que nos dice que estar en un marco de referencia acelerado es equivalente a estar en reposo en un campo gravitacional. Si esto es cierto, entonces un rayo de luz que pase cerca de un campo gravitacional será desviado experimentando una curvatura en su trayectoria. Puesto de otra manera, un rayo de luz que pase cerca de un planeta será desviado de su dirección rectilínea. Sin embargo, aquí no hay atracción gravitacional alguna que esté siendo ejercida sobre el rayo de luz, en virtud de que la atracción gravitacional postulada por Isaac Newton no existe. Lo que sucede es que el rayo de luz se mueve a lo largo de la curvatura introducida en una región del espacio-tiempo por la presencia de un objeto con una cantidad apreciable de masa. Esto quiere decir que si llega a nosotros un rayo de luz de una estrella distante, y ese rayo de luz ha pasado cerca de uno de los planetas exteriores de nuestro sistema solar, ese rayo será desviado y la posición en el cielo en la que nosotros vemos a dicha estrella no es su posición verdadera. Esto está ilustrado en el siguiente dibujo:






La estrella cuya luz nos llega desde muy lejos, en su posición verdadera, sufre una desviación en su trayectoria a causa de la curvatura introducida en el espacio-tiempo por el planeta cerca del cual pasa el rayo de luz. Si nos dejamos guiar por la línea recta a lo largo de la cual viaja directamente hacia nosotros la luz de la estrella, terminaremos creyendo que la estrella está situada en el lado derecho en donde aparece la estrella en la parte superior del dibujo. Pero la estrella está realmente situada a la izquierda de esta ilusión óptica, que bien pudieramos llamar ilusión óptica gravitacional.

Es importante dejar otra cosa en claro: aunque la trayectoria que sigue un rayo de luz puede ser desviada en presencia de un campo gravitacional intenso, la luz mantiene exactamente su misma velocidad en presencia de un campo gravitacional, ni aumenta ni disminuye su velocidad. Sigue siendo la misma referencia absoluta, universal, que no cambia ni en la Teoría Especial de la Relatividad ni en la Teoría General de la Relatividad. Sin embargo, al tomar una trayectoria curvilínea en vez de continuar adelante siguiendo una trayectoria en línea recta, un rayo de luz nos puede confirmar de inmediato si en el lugar por donde está pasando el espacio-tiempo ha dejado de ser plano adquiriendo una curvatura.

Para confirmar la predicción teórica de la deflexión de los rayos luminosos ocasionada por la curvatura en el espacio-tiempo producida por el Sol, nuestra estrella más cercana, el 29 de mayo de 1919 poco después de la Primera Guerra Mundial se llevó a cabo una expedición encabezada por Sir Arthur Eddington a la isla de Príncipe cerca de Africa, en donde se esperaba un eclipse solar total. Normalmente, la luz que nos llega de las estrellas lejanas y que pasa cerca del borde exterior del disco solar no se puede distinguir a causa de la brillantez de la misma luz solar. Sin embargo, si el disco del Sol es cubierto por un cuerpo opaco lo suficientemente grande, como el de la Luna durante un eclipse, entonces la luz solar ya no opaca totalmente a la luz de las estrellas que llega hasta nosotros pasando por dicho borde. En principio, una fotografía de la región del Universo situada justo detrás del Sol al momento de ser tomada durante el eclipse solar, comparada con otra fotografía tomada de esa misma región con el Sol fuera del camino en virtud del movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol, debe mostrarnos a las estrellas más cercanas entre sí al crearse el efecto óptico por la desviación relativista gravitatoria de la luz de esas estrellas al pasar cerca del Sol que cuando las vemos en una noche obscura. A continuación tenemos el “negativo” fotográfico de una de las placas tomadas durante esa famosa expedición (el término “negativo” fotográfico, una inversión de la luminosidad mostrada por una placa, tal vez no sea muy claro para las nuevas generaciones acostumbradas a las cámaras fotográficas digitales sin haber conocido las cámaras “antigüitas” basadas en soluciones de plata, y una comparación equivalente sería imaginarnos a la placa como una placa de rayos-X aunque en realidad no lo es):





Los resultados positivos anunciados por Eddington en su tiempo fueron aplaudidos como una confirmación de la Relatividad General, aunque eventualmente esos resultados estuvieron siendo puestos en tela de duda por las incertidumbres experimentales astronómicas capaces de ser confundidas con efectos relativistas. Si nos fijamos en la placa fotográfica, pese a la oclusión del astro solar ocasionada por la Luna, la posición de las estrellas situadas alrededor del Sol así como la nitidez de las mismas no es algo tan pronunciado como pudiera esperarse. Aún así, Eddington y otros astrónomos, en su interpretación de los resultados obtenidos, encontraron suficiente evidencia para considerar a los resultados como una confirmación de la Relatividad General. De cualquier manera, hay otro efecto similar de confirmación astronómica que en su tiempo no se le había ocurrido ni siquiera al mismo Einstein: la creación de imágenes dobles o inclusive múltiples por el efecto conocido como lentes gravitacionales. Y la detección de este efecto es posible llevarla a cabo en un cielo totalmente obscuro, porque la masa que desvía los rayos luminosos que nos llegan de las estrellas no es la masa del Sol brillante tan cercano a nosotros sino otra masa grande que incluso puede ser opaca (como una estrella de neutrones) situada entre nosotros y dichas estrellas. La siguiente ilustración nos muestra cómo es posible que se formen imágenes dobles, de las cuales ya se han corroborado varias:





A continuación tenemos una fotografía tomada por el telescopio espacial Hubble que nos muestra de manera concluyente un ejemplo de lente gravitacional:





En esta fotografía, lo que en las puntas parecen ser cuatro estrellas situadas en forma de cruz (la configuración es conocida como la Cruz de Einstein) en realidad son imágenes de la misma estrella, una estrella quásar designada en el catálogo astronómico internacional como G2237+0305. El cuerpo central en realidad es una galaxia situada entre nosotros y la estrella, la galaxia CGCG 378-15 que está actuando como una lente gravitacional desviando los rayos luminosos de la quásar de modo tal que nos llegan cuatro imágenes de la misma estrella a la Tierra.

En la entrada “El efecto Doppler relativista” correspondiente a la Teoría Especial de la Relatividad, vimos cómo cuando en el espacio libre un viajero con una fuente luminosa en sus manos se está alejando de nosotros la frecuencia de las ondas luminosas que nos llega de su lámpara es menor no sólo por el efecto del corrimiento Doppler sino por los efectos relativistas de la dilatación del tiempo. Esto supone que la fuente está en movimiento alejándose de nosotros.

Pero en la Relatividad General, no es necesario que una fuente luminosa se esté alejando de nosotros a gran velocidad para que la frecuencia de una señal emitida desde la fuente nos llegue disminuída a nosotros. Podemos estar siempre a la misma distancia de otro observador (digamos unos mil millones de kilómetros) y sin embargo un haz luminoso que nos envíe el observador que él ve de color azul nos puede llegar de color verde o rojo. Para que esto ocurra, el observador que nos manda el haz de luz debe estar en la superficie de un planeta o de un cuerpo celeste con un campo gravitacional intenso, con lo cual la curvatura provocada en lo que de otro modo sería un espacio-tiempo plano hace que la coordenada del tiempo se dilate en la superficie del cuerpo masivo con respecto al tiempo medido en el espacio libre exterior por un observador en reposo libre del campo gravitacional. La fórmula para la dilatación gravitacional del tiempo medida por un reloj situado dentro de un campo gravitacional es:



en donde T es el intervalo de tiempo medido por un observador que se encuentra en el espacio libre alejado del campo gravitacional. Se recalca aquí que esta dilatación del tiempo es distinta a la dilatación del tiempo tratada dentro de la Teoría Especial de la Relatividad. Esta misma fórmula, para el campo gravitacional de la Tierra en su superficie, se convierte en:



Utilizando la expansión binomial por series:



y los valores de g = 9.8 metros/seg² para la superficie de la Tierra así como R = 6.38·106 metros para el radio medio de la Tierra, encontramos que:



con lo cual se antoja extremadamente difícil el poder medir en la superficie de la Tierra un corrimiento al rojo gravitacional.

Puesto que la gravedad dilata al tiempo, al estar lejos de una estrella masiva tenemos que esperar más para ver pasar la siguiente cresta de una onda luminosa que los observadores que estén en la superficie de la estrella masiva. Puesto que la luz viaja siempre a la misma velocidad, este incremento en el período de tiempo de cresta a cresta de la onda luminosa implica que la longitud de onda λ será mayor al llegar a nosotros que al salir disparada del cuerpo masivo:





En otras palabras, hay un corrimiento hacia el rojo causado por el campo gravitacional, el cual no tiene absolutamente nada que ver con el efecto Doppler ya que el cuerpo masivo puede estar siempre estacionario (a la misma distancia) de nosotros y el corrimiento al rojo ocurrirá de todas maneras. Este efecto de corrimiento hacia el rojo ocasionado por un campo gravitacional intenso y el cual no tiene nada que ver con el efecto Doppler causado por un movimiento del cuerpo alejándose de nosotros es conocido como el corrimiento al rojo gravitacional ó desplazamiento Einstein.

El corrimiento al rojo gravitacional es una consecuencia directa del Principio de Equivalencia de la Relatividad General, ya que de acuerdo a dicho principio cualquier corrimiento de frecuencia que pueda ser ocasionado por una fuente que se está acelerando alejándose de nosotros (lo cual ya hemos tratado en la entrada “El efecto Doppler relativista”) también puede ser producido por un campo gravitacional. Por lo tanto, el corrimiento al rojo que se puede esperar como consecuencia de un campo gravitacional puede ser relacionado directamente con el corrimiento Doppler relativista que se obtiene de una fuente luminosa que se está alejando de nosotros. Para una velocidad V de la fuente luminosa suficientemente baja en comparación con la velocidad de la luz, el desplazamiento Doppler está dado por la fórmula:

f = f0 [ 1 + V/c]

Para una aceleración constante a (como es el caso con la gravedad de la Tierra) con la cual el observador al recorrer una distancia L se ha acelerado a una velocidad V en un tiempo L/c, la expresión se transforma en:

f = f0 [ 1 + aL/c²]

Y el símil de esta fórmula en un campo gravitacional será, reemplazando la aceleración por g:

f = f0 [ 1 + gL/c²]

Desde la óptica de la mecánica cuántica y el principio de la conservación de la energía, no es difícil ver el por qué un haz luminoso debe experimentar un corrimiento hacia el rojo cuando es emitido en presencia de un campo gravitacional intenso. Considérese el siguiente gedanken (experimento hipotético) que fue propuesto inicialmente por el mismo Einstein, en el cual tenemos una torre alta de altura h y desde la cual dejamos caer libremente hacia el suelo con una aceleración g desde lo alto de la torre una partícula cuya masa en reposo es m0 y cuya energía de movimiento al tocar el suelo es convertida totalmente por algún procedimiento ingenioso en un fotón de haz luminoso γ de frecuencia f:




Al caer libremente hacia la superficie de la Tierra por la acción de la gravedad, la partícula toca el suelo con una velocidad v. Puesto que toda la energía potencial Ep que tenía la partícula fue convertida en energía cinética Ec, esta velocidad será igual a:

Ep = Ec

mgh = ½m

v = √2gh

De este modo, un observador al pie de la torre medirá en la partícula una energía total E igual a la energía en reposo E0 de la partícula más su energía cinética Ec:

E = E0 + Ec

E = m0c² + ½m

Esto nos indica que al haber dejado caer a la partícula inicialmente en reposo desde lo alto de la torre hemos ganado energía. La energía no es simplemente E0 sino E. Supongamos ahora que el observador al pie de la torre tiene un método ingenioso que puede utilizar para convertir toda esta energía E en un fotón luminoso que envía hacia lo alto de la torre. Este es un procedimiento que no viola las leyes de conservación puesto que la Tierra absorbe el momentum del fotón pero no su energía. Si el fotón no cambia en nada, entonces va a llegar a lo alto de la torre con la misma energía que tenía al momento de ser enviado desde el pie de la torre. Después de llegar a lo alto de la torre, el fotón es convertido nuevamente por otro procedimiento ingenioso a una partícula cuya masa en reposo es m'0 siendo su energía E'0. Pero ahora tenemos una masa con un contenido energético total mayor que el que teníamos antes. Si repetimos el proceso dejando caer la partícula desde lo alto de la torre, ganará todavía más energía, la cual al ser convertida la partícula en un fotón enviado hacia lo alto de la torre se sumará a la energía extra que ya se había adquirido antes. En pocas palabras, estamos terminando con más energía que la que teníamos cuando empezamos. Se está creando energía de la nada. Sin embargo, si algo nos ha mostrado la Naturaleza que ha sido confirmado por todos los experimentos habidos y por haber, es que no hay nada gratis tratándose de cuestiones de energía. La energía simplemente no aparece de la nada gratuitamenete, cuando lo hace podemos estar seguros de que hay un déficit en otro lado que neutraliza la ganancia. Es así como sospechamos que la energía en reposo E'0 que tiene la masa al ser devuelta como un fotón hacia lo alto de la torre debe ser igual a la energía en reposo original E0 con la cual se dejó caer a la partícula desde lo alto de la torre (o lo que es lo mismo, la masa de la partícula que llega a lo alto de la torre debe ser la misma que la masa de la partícula que fue dejada caer desde la torre), ya que de no ser así podríamos obtener un movimiento perpetuo con la energía ganada por la partícula al caer de lo alto de la torre. Pero desde hace ya bastantes años que la ciencia descartó la posibilidad de máquinas de movimiento perpetuo. Ahora bien, de acuerdo con la mecánica cuántica, la energía Ef de un fotón depende única y exclusivamente de la frecuencia f del fotón de acuerdo con la siguiente fórmula:

Ef = h f

en donde h es la constante de Planck. Esto nos lleva a concluír que la energía del fotón al ser enviado desde el suelo hasta lo alto de la torre no es igual a la energía con la cual el fotón llega a lo alto de la torre, la energía debe ser necesariamente menor ya que de otra manera podríamos construír una máquina de movimiento perpetuo violando el segundo principio de la termodinámica que excluye la posibilidad de poder construír máquinas de movimiento perpetuo. Y la única manera en la cual el fotón puede llegar a lo alto de la torre con una energía menor a la que tenía cuando fue enviado desde el suelo hacia la torre es llegando con una frecuencia que la que tenía cuando fue enviado; en otras palabras, experimentando un corrimiento hacia el rojo. En principio, la frecuencia del fotón se va corriendo hacia el rojo conforme el fotón se va alejando del campo gravitacional, y al llegar a la torre la energía perdida por el fotón debe ser exactamente igual a la energía cinética ganada por la masa al caer desde lo alto de la torre. Ni creación ni desaparición de energía, tal y como lo pide el principio de la conservación de la energía (o mejor dicho, el principio de la conservación de la masa-energía).

Imaginemos un edificio situado sobre la superficie de un planeta con un campo gravitacional intenso. Entonces, al menos teóricamente, el tiempo correrá más lentamente en el primer piso del edificio que en cualquiera de los pisos superiores (para una persona ordinaria esta diferencia será indetectable):





Entonces, por el efecto de la dilatación del tiempo, la onda luminosa se irá estirando conforme sube del primer piso al segundo piso y hacia los pisos superiores del edificio:





Aunque resulte difícil de creer, el corrimiento al rojo gravitacional ha sido verificado experimentalmente aquí mismo en la Tierra utilizando el efecto Mössbauer (descubierto en 1957 por el físico Rudolf Mössbauer, un efecto que tiene que ver con la emisión y absorción resonante y libre de retroceso de rayos gamma por parte de átomos de un sólido). El experimento, conocido como el experimento Pound-Rebka, fue efectuado en 1959 por R. V. Pound y G. A. Rebka Jr. en el Jefferson Physical Laboratory de la Universidad de Harvard utilizando una variación de la espectroscopía Mössbauer basada en el efecto del mismo nombre. Para ello se utilizaron dos emisores separados a una altura de 22.6 metros, uno apuntando hacia abajo y el otro apuntando hacia arriba, con detectores situados en los extremos opuestos:





En base a lo que se ha señalado anteriormente, la fórmula para obtener el cambio debido al corrimiento al rojo gravitacional es:



En una diferencia de altura de 22.6 metros el corrimiento al rojo por la diferencia entre la gravedad de la Tierra a esa diferencia en la altura es de apenas 4.92·10-15, pero gracias al efecto Mossbauer utilizando rayos gamma con una energía de 14.4 KeV del hierro-57, se encontró que los resultados experimentales confirmaron que las predicciones de la Relatividad General estaban apoyadas por las observaciones con un nivel del 10% de confianza, refinándose más tarde el resultado por Pound y Snider consiguiéndose mejorar el nivel de confianza hasta un 1% de confianza. El experimento fue repetido con ambos emisores y detectores colocados al mismo nivel sobre la superficie de la Tierra en vez de ser colocados a alturas diferentes, aunque manteniendo la separación de 22.6 metros, y se encontró que la frecuencia de cada señal al ser emitida era la misma que la frecuencia que tenía la señal al ser recibida por el detector situado a 22.6 metros de distancia al mismo nivel sobre la superficie de la Tierra. Los corrimientos de frecuencia cuando los emisores y detectores están separados verticalmente, no cuando están separados horizontalmente, resultan ser iguales a los predichos por las fórmulas obtenidas de la Relatividad General. Se considera que fue el experimento Pound-Rebka, cuyos resultados fueron publicados en 1959 por el Physical Review Letters, el que introdujo una era de pruebas de precisión de la Relatividad General.

Desafortunadamente el corrimiento hacia el rojo por efecto de un campo gravitacional ocasionado desde la superficie de un astro se confunde con el corrimiento hacia el rojo debido al movimiento rápido con el cual el astro se está alejando de nosotros que produce su propio efecto relativista, lo cual hace que los efectos se combinen dando como consecuencia un solo resultado, el corrimiento hacia el rojo, pero sin quedar muy claro cuánto de ese corrimiento hacia el rojo puede ser ocasionado por el efecto del campo gravitacional y cuánto se puede deber al efecto Doppler relativista al estarse alejando el astro rápidamente de nosotros. Inclusive en la actualidad esto sigue siendo un tema de controversia que no se ha resuelto del todo y sigue siendo objeto de una investigación intensa.

Al empezar a cubrir el tema de la Teoría Especial de la Relatividad en una entrada anterior titulada “Las consecuencias directas de la teoría”, se señaló que el tiempo medido por un satélite artificial en órbita alrededor de la Tierra como ocurre con cada uno de los 24 satélites utilizados por el Sistema de Posicionamiento Global ó Global Positioning System (GPS) será más lento que el tiempo medido en la Tierra. Este es un efecto relativista debido enteramente a la Teoría Especial de la Relatividad, cuando aún no se había desarrollado la Relatividad General, cuando aún no se sabía que los cambios en la gravedad de la Tierra con la altura también podían introducir sus propios efectos relativistas de dilatación del tiempo. Esto significa que para un satélite que está en órbita dándole vueltas a la Tierra, el efecto relativista total tiene que ser calculado sumando el efecto relativista debido al movimiento relativo entre el satélite y la Tierra junto con el efecto relativista debido a la diferencia que hay entre la gravedad de la superficie de la Tierra y la gravedad a una altura de más de 500 kilómetros sobre la superficie de la Tierra. (Esta complicación no ocurre desde luego tratándose de los satélites artificiales geoestacionarios, los cuales se mueven en la misma dirección de la rotación de la Tierra de modo tal que parecen estar suspendidos en el aire a gran altura sobre nosotros sin cambiar de posición; en tal caso la única corrección relativista por efectos de dilatación del tiempo que hay que aplicar es la que predice la Relatividad General, en todos los demás casos hay que combinar ambos efectos.) No es inusual encontrarse con la necesidad de tener que aplicar correcciones relativistas combinadas motivadas por el hecho de que, además de las correciones relativistas requeridas para compensar por los efectos causados por la Teoría Especial de la Relatividad, a estos efectos tengamos que agregar los efectos relativistas causados por la gravedad. Esto lo podemos expresar mediante la siguiente fórmula:



Otra consecuencia interesante de la Relatividad General concierne algo que posiblemente al mismo Newton le despertó sospechas. De acuerdo con la teoría de la gravitación universal, dos cuerpos se atraen en razón directa del producto de sus masas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad. Así es como la Tierra mantiene a la Luna dentro de una órbita aproximadamente circular en torno a la Tierra. La fuerza de atracción ejercida por la Tierra sobre la Luna es la misma ya sea que la Tierra esté girando con un movimiento de rotación sobre su eje o que permanezca estática frente a la Luna. Esto quiere decir que si la Tierra empezara a girar con mayor velocidad angular, la Luna no sentiría efecto alguno, porque la fuerza de atracción propuesta por Newton no tiene absolutamente nada que ver con la cantidad de energía rotacional que posea la Tierra, únicamente depende de la masa de la Tierra y la distancia de la Tierra a la Luna. Sin embargo, un planeta en rotación definitivamente posee cierta cantidad de energía, definida clásicamente mediante la siguiente fórmula:

E = ½Iω²

en donde ω es la velocidad angular de la Tierra y I es el momento de inercia de la Tierra, la cual si es considerada como un objeto aproximadamente esférico de radio R y de densidad constante entonces para fines de cálculo posee un momento de inercia I que está dado por la fórmula:

I = 2MR²/5

Considerando la cantidad de masa M que posee la Tierra (5.98·1024 kilogramos) y un movimiento de rotación con un período de 24 horas, estamos hablando aquí de una cantidad considerable de energía de movimiento. ¿Cómo es posible que tanta energía no produzca absolutamente ningún efecto así sea minúsculo sobre el cuerpo que está siendo objeto de atracción? Esto quiere decir que si pudieramos ocultar a la Tierra detrás de una cortina plana que le impidiera a un astronauta ver a la Tierra desde la Luna, éste no tendría forma alguna de saber si la Tierra está estática, girando lentamente o girando a gran velocidad, a menos de que la lámina sea levantada y se le permita ver a la Tierra. La formulación matemática de las leyes de Newton no permite establecer diferencia alguna. La ley de Newton para la gravitación universal no permite que esta energía rotacional pueda ser tomada en consideración aunque pueda variar enormemente, algo que posiblemente habrá frustrado al mismo Newton dejándolo con dudas sobre los alcances de su teoría.

Desde la perspectiva de la Relatividad General, la masa M de la Tierra es equivalente a cierta cantidad de energía E en base a la relación E = mc², de modo tal que si decimos que la energía en reposo resultante de la masa de la Tierra es la que está manteniendo a la Luna en su órbita, estaríamos en lo correcto. Pero al hablar del equivalente energético de la masa M de la Tierra, estamos utilizando un concepto en el cual podemos incluír sin problema alguno la energía rotacional de la Tierra. En la Relatividad General, tanto la masa como la energía son capaces de provocar una curvatura en el espacio-tiempo, porque han sido unificadas bajo un solo concepto en la Teoría Especial de la Relatividad. Si la Tierra no girase en torno a su propio eje, si estuviese estática frente a la Luna, entonces todo su contenido energético sería el que deriva de su masa. Pero al estar girando la Tierra, su contenido energético es mayor en virtud de que al contenido energético resultante de la masa (la energía en reposo) hay que sumarle el contenido energético resultante de la rotación. En otras palabras, la energía total de la Tierra es igual a la energía equivalente de su masa sumada a la energía angular en virtud de su movimiento de rotación:

Etotal = Emasa + Erotacion

Etotal = Mc² + ½Iω²

Al introducir en el lado derecho de la ecuación tensorial

curvatura espacio-tiempo = energía total

la energía extra producida por la rotación de la Tierra, se provocará una curvatura en el espacio-tiempo aún mayor que la que produciría la Tierra si estuviese estática, lo cual hará que la Tierra parezca “jalar” con mayor fuerza la Luna hacia la Tierra. De este modo, tenemos dos conclusiones completamente diferentes:

Newton: La rotación de un cuerpo no tiene efecto alguno sobre la atracción gravitacional que ejerce sobre otro cuerpo.

Einstein: La rotación de un cuerpo tendrá un efecto directo adicional en la curvatura del espacio-tiempo que a su vez dicta la órbita del cuerpo que esté girando en torno a él, lo cual se traducirá directamente en una atracción gravitacional mayor.

Otra predicción de la Relatividad General es la de la existencia de los hoyos negros o agujeros negros, cuerpos con tanta masa y tanta “atracción gravitacional” que ni siquiera la luz puede escapar de ellos. Interesantemente, esta misma predicción había sido hecha también por la mecánica Newtoniana, aunque por las razones equivocadas. A partir de las ecuaciones de Newton, se puede demostrar con poca dificultad que para un cuerpo grande de radio r y de masa M la velocidad de escape para un proyectil lanzado verticalmente desde la superficie de dicho objeto no depende de la masa del cuerpo lanzado (el cual suponemos pequeño) sino de la masa del cuerpo grande y de su radio. Para un objeto lanzado verticalmente desde el planeta Tierra, esta velocidad resulta ser de 11.2 kilómetros por segundo:





Puesto que la velocidad de la luz es de 300 mil kilómetros por segundo, podemos calcular bajo la mecánica Newtoniana qué tanta masa M debe tener concentrada un planeta de radio r para que la velocidad vertical de escape de dicho planeta sea exactamente igual a la velocidad de la luz. Y si el planeta, con el mismo radio, tiene una cantidad de masa M mayor que ésta, la luz no podrá escapar de la “atracción gravitacional” del planeta.

Pero bajo la mecánica Einsteniana, la “atracción gravitacional” no existe. Lo que sucede es que la curvatura que va siendo introducida en una región de espacio-tiempo por una cantidad cada vez mayor de masa llega a tal extremo que se perfora un punto en esa región de espacio-tiempo, al cual matemáticamente se le conoce como una singularidad. En ese punto, la caída en la curvatura conduce directamente hacia el infinito:





De este modo, en aquella región del cosmos en donde haya un hoyo negro, tenemos lo que es ni más ni menos que una perforación matemática en el espacio-tiempo:





En principio, un agujero negro es un objeto totalmente invisible, puesto que si es capaz de tragarse la luz impidiendo que pueda salir del mismo confirmación visual alguna que pueda darnos una pista de su existencia, ni siquiera sabemos que está allí. La detección del mismo se tiene que llevar a cabo por métodos indirectos como cuando está devorando una estrella o como cuando tiene una estrella en órbita en torno suyo. El estudio de estos objetos exóticos se verá posteriormente en mayor detalle cuando se hayan sentado las bases matemáticas requeridas para poder entender lo que está sucediendo dentro y fuera de los agujeros negros.

Además de las tres pruebas originales propuestas por Einstein en 1916 para confirmar experimentalmente la Teoría General de la Relatividad, gracias a los avances recientes en la astronomía y en la astrofísica constantemente se están dando a conocer nuevas verificaciones de la teoría que solidifican su credibilidad. Una búsqueda aleatoria en Internet nos puede mostrar en poco tiempo artículos como el publicado el 14 de septiembre de 2006 por el sitio ScienceDaily bajo el título “General Relativity Survives Gruelling Pulsar Test: Einstein At Least 99.95 Percent Right”, que se traduce del inglés como “La Relatividad General Sobrevive Extenuante Prueba de Pulsar: Einstein Correcto en Al Menos 99.95 por ciento”, accesible en el enlace:

http://www.sciencedaily.com/releases/2006/09/060914094623.htm

Del mismo sitio, se puede citar otro artículo publicado el 4 de julio de 2008 bajo el título “Einstein Estaba en lo Cierto, Afirman Astrofísicos”, que se traduce del inglés como “Einstein Was Right, Astrophysicists Say”, accesible en el enlace:

http://www.sciencedaily.com/releases/2008/07/080703140721.htm


Dos filosofías opuestas


Hagamos ahora una comparación entre la mecánica Newtoniana de Sir Isaac Newton basada en el concepto del movimiento absoluto y la mecánica Einsteniana basada en el concepto del movimiento relativo.

La mecánica Newtoniana basa su creencia en el concepto de acción-a-distancia, la creencia de que entre dos cuerpos celestes flotando en el espacio existe una forma de atracción universal, la cual se puede expresar mediante una fórmula que nos dice que dicha fuerza de atracción es directamente proporcional al producto de las masas M y m de dos cuerpos que se atraen, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que separa los centros geométricos de dichas cuerpos:





Newton creía que un cuerpo podía ejercer una fuerza de atracción sobre otro cuerpo a través del espacio intermedio entre dichos cuerpos, y su formulación de su ley de atracción universal requería que tal “acción a distancia” ocurriera de manera instantánea, sin límite alguno impuesto a la rapidez de tal interacción. Aquí la velocidad de la luz no era obstáculo alguno, y si bien un rayo de luz tarda cierto tiempo en llegar desde la Tierra hasta el planeta Marte, los efectos de la atracción gravitatoria universal Newtoniana de un cuerpo sobre otro eran instantáneos aunque dichos cuerpos estuviesen situados en extremos opuestos de una galaxia. La velocidad de la luz ni siquiera aparece en la fórmula de Newton. Esta hipótesis que nos dice que si tenemos dos cuerpos celestes pesados separados el uno del otro a una distancia de mil trillones de kilómetros y uno de dichos cuerpos es alejado súbitamente del otro (al ser golpeado por un asteroide enorme, por ejemplo), de alguna manera el otro cuerpo “sabe” instantáneamente lo que ocurrió a esa enorme distancia. Es un efecto que se antoja más como un truco de magia que como una teoría científica seria.

La enorme influencia ejercida por los conceptos filosóficos de Newton, el cual creía firmemente en la existencia del espacio absoluto y del tiempo absoluto, no tardó en ser aplicada en las primeras leyes que se fueron formulando para los fenómenos eléctricos y magnéticos, empezando con la Ley de Coulomb, la cual a primera vista parece una calca de la ley de gravitación universal de Newton por la manera en la que está formulada: Dos cargas eléctricas se atraen (o se repelen, dependiendo del signo de las cargas) en razón directa del producto de las magnitudes de las cargas y en razón inversa al cuadrado de la distancia que las separa.

La ley de Coulomb, al igual que la ley de Newton, también se basa en la creencia de un efecto de “acción a distancia”, el cual se propaga instantáneamente entre dos cargas eléctricas sin importar la distancia que haya entre dichas cargas.

En contraste, la mecánica Einsteniana niega por completo la existencia de los efectos instantáneos y casi mágicos de la “acción a distancia”, niega por completo la existencia de una fuerza de atracción gravitatoria universal entre dos cuerpos celestes. El concepto de la “acción a distancia” es reemplazado por otro concepto, el concepto de que la presencia de cualquier cantidad de masa o de energía introduce una curvatura en el espacio cuatri-dimensional que de otra manera sería perfectamente plano, y esta curvatura es precisamente la que explica los movimientos de los planetas alrededor del Sol y todos los demás fenómenos celestes.

En una región del universo completamente desprovista de la cercanía de objeto alguno, el diagrama espacio-tiempo de Minkowski de tal región es perfectamente plano, porque no hay nada que introduzca curvatura alguna en dicho diagrama:




Pero la sola presencia de un objeto cualesquiera introduce una curvatura en el plano espacio-tiempo cuya magnitud dependerá de la magnitud de la masa que produzca dicha curvatura, siendo la curvatura mayor en tanto mayor sea la masa. Es así como el Sol en torno al cual gira nuestro planeta introduce su propia curvatura la región del espacio-tiempo que está ocupando (por cierto, el marco de la figura de abajo no es un rombo con el lado inferior más pequeño que el lado superior, la forma aparente de trapecio no es más que una ilusión óptica, del mismo modo que la mecánica Newtoniana no es más que una ilusión que prevaleció por muchos años):





Bajo la mecánica Einsteniana, cuando un objeto pequeño está en la proximidad de un objeto masivo, rodará enfilándose hacia el objeto masivo a causa de la curvatura en el continuo espacio-tiempo del mismo modo en que una canica rodará hacia una pequeña región que esté situada a una altura menor que la altura a la cual se encuentra:





Si el cuerpo pequeño no está enfilado directamente hacia el objeto de mayor tamaño sino que va a pasar de lado, entonces la curvatura en el espacio-tiempo provocada por el objeto mayor lo jalará haciéndolo caer en una espiral hacia él. Si el cuerpo pequeño va viajando con suficiente rapidez al irse acercando hacia el cuerpo mayor, entonces no caerá sino que entrará en órbita permanente alrededor del cuerpo. Esto es posible porque si el cuerpo que servirá de centro orbital (en torno al cual girará otro cuerpo) tiene suficiente masa, entonces hará que el espacio-tiempo se cierre sobre sí mismo produciendo las trayectorias curvas cerradas que el cuerpo en movimiento seguirá en torno al cuerpo alrededor del cual estará girando. Esta es la verdadera razón, de acuerdo con la Relatividad General, por la cual la Tierra gira alrededor del Sol, no porque haya una fuerza de atracción entre dos masas según lo propuso Newton. Esta es esencialmente la explicación Einsteniana moderna de la mecánica celeste.

En nuestro sistema solar, no sólo el Sol produce una hendidura en el espacio-tiempo introduciendo una curvatura que le permite mantener a todos los planetas del sistema solar girando en torno suyo, también cada planeta introduce su propia hendidura que le permite tener sus propios satélites. Es así como tenemos un conjunto de hendiduras en el espacio-tiempo de nuestro sistema solar:





De este modo, la Teoría de la Relatividad reemplaza todo el concepto filosófico en el que estaban basadas las ideas de Newton por otro concepto que está más acorde con resultados experimentales que están siendo obtenidos en la actualidad.

Se puede encontrar una explicación moderna, detallada, a la explicación de la precesión de la órbita de Mercurio alrededor del Sol, en el siguiente enlace Wikipedia;

http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_problem_in_general_relativity

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